4.3指数函数与对数函数、幂函数-2024年1月广东春季数学高考 (学考）知识点总结与方法训练

指对幂函数-2024年1月广东春季数学高考 (学考）知识点总结与方法训练 ---------------------------------------------------知识点总结------------------------------------------------------------ 1、根指数幂与分数指数幂 1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 2）对于根式记号，要注意以下几点： （1），且； （2）当是奇数，则；当是偶数，则 ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3）规定： 2、指数函数图像及性质 y=ax 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 性 质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 指数函数与的图象关于轴对称。 3、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. （3）对数式与指数式的互化：. 4、对数的性质 根据对数的概念，对数具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即； （2）1的对数等于0，即； （3）底数的对数等于1，即； （4）对数恒等式. 5、对数的运算性质 如果，那么： （1）； （2）； （3）. 6、对数的换底公式 对数的换底公式：. （1）； （2）； （3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 7、 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 （0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点（1，0），即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(-∞，0）； x∈[1，＋∞)时，y∈(0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(-∞，0） 对称性 函数y＝logax与y＝ 的图象关于 对称 8、幂函数的概念 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数。 9、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在(0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，、1或其他数来解决。 a>1 0<a<1 a<0 10、底数与图像位置关系： 1）指数函数图象在第一象限是“底大图高”， 2）对数函数图象：在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3）幂函数图象在（1，1）右侧：是“指大图高”. 　　 11、比较大小 1） 直接利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小； 2）化为同底数、同指数或同真数的对数式或指数式，利用其单调性进行比较； 3）作差法、作商法、乘方法、特值法等比较大小； 4） 或借助于中间值0和1进行比较； 5） 数形结合画图象比较大小、构造新函数并判别单调性比较大小； 12、常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零，0指数幂的底数不为0． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R． (4)对数的真数要大于0, 底数大于0且不等于1. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R． (6)实际问题满足实际意义。 (7)若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域. 13、反函数（x与y一一对应） 已知一个函数y=f(x), 设其定义域为A, 值域为C, 根据y=f(x)中y与x的关系, 用y表示x, 得x=φ(y),如果对于y在C中的任何一个值, 通过x=φ(y), x在A中都有唯一确定的值和它对应, 那么就得到一个定义在C上的, 以y为自变量的新函数x=φ(y), 这个新函数叫做函数y=f(x)