5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)学案 重难点:通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质;能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题;能够解决简单的函数性质的综合问题. 1、 复习 1.正弦函数的定义域 ;余弦函数的定义域为 ; 正切函数的定义域为 。 2. (1) 正弦函数上的图象中有五个关键点: 、 、 、 、 。 (2) 余弦函数上的图象中有五个关键点: 、 、 、 、 。 3.(1)一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)正弦函数是 ,2k (k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 . (4)余弦函数是 ,2k (k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是 . 4. 正弦函数是 ,余弦函数是 .(填奇函数或偶函数) 二.新课讲解 1. 你能作出正弦函数y=sin x,x∈的函数图象吗? 由上图我们发现,区间正好是函数的一个周期,其中在区间上单调递增,在区间上单调递减.类似地,我们通过观察余弦函数在一个周期[- , ]上的 函数值的变化规律,可知y=cos x在区间[- ,0]上单调递增,在区间[0, ]上单调递减. 2. 正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值 域 周 期 奇偶性 对称轴 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 在 上是增函数 在 上是减函数 最值 的值 当 ,最大值是 。 当 ,最小值是 。 当 ,最大值是 。 当 ,最小值是 。 注意点:(1)正、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限; (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数,但它们都有无数个单调区间; (3)利用单调性,可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 3.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1) (2) (3)cos ,cos ; (4) sin 164 与cos 110 ; (5) cos 1,sin 1. 解 小结 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数.(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 4.(1)已知 , 为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A.sin <sin B.cos <sin C.cos <cos D.cos >cos (2)下列关系式中正确的是( ) A.sin 11 <sin 168 <cos 10 B.sin 168 <sin 11 <cos 10 C.sin 11 <cos 10 <sin 168 D.sin 168 <cos 10 <sin 11 5.(1)求函数y=2sin的单调区间. (2)求函数f(x)=2sin,x∈[0,2 ]的单调区间. (3) 求函数y=sin的单调递增区间. 小结 求正弦、余弦函数的单调区间的策略 ①结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. ②在求形如y=Asin( x+ )(其中A, , 为常数,且A≠0, >0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ x+ ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos( x+ )(其中A, , 为常数,且A≠0, >0)的函数的单调区间同上. 6.(1)函数y=sin,x∈[0,2 ]的单调递减区间为_. (2)求函数y=2cos的单调区间. 7.(1) 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量的集合,并求出最大值、最小值. ① ② (2)已知函数f(x)=asin+b(a>0).当x∈时,f(x)的最大值为, 最小值是-2,求a和b的值. 小结 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 ①形如y=Asin x(或y=Acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对A正、负的讨论. ②形如y=Asin( x+ )+b(或y=Acos( x+ )+b)型,可先由定义域求得 x+ 的范围,然后求得sin( x+ )(或cos( x+ ))的范围,最后求得值域(最值). ③求给定区间上最值(值域)的问题,可利用换元思想,设t= x+ ,转换成 y=Asin x(或y=Acos x)型的函数求值. (3)求函数y=cos,x∈的值域. 8. (1)求二次函数的最值,需要明确哪些方面? 提示 开口方向,对称轴,函数的定义域. (2)同角三角函数的平方关系是什么? 提示 sin2 +cos2 =1. 9. (1)函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为_. (2) 函数y=cos