2023—2024学年人教版数学九年级上册 旋转、二次函数压轴题期末专练

2023—2024年九上数学压轴题专练 1、如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F． （1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD； （2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE、CF、CO三条线段之间的数量关系，并说明理由. 2、已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接，点P是抛物线上的一个动点，点M是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)若以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． (3)若，直接写出点P的横坐标为_______． 3、如图，四边形、都是正方形． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，正方形绕点B逆时针旋转，使点G正好落在上，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，，，点M为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出的最小值为______． 4、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．点D为线段BC上的一个动点，当点D不与B、C重合时，过点D作轴，交抛物线于点E，过E作轴，交直线BC于点F．设点D的横坐标为m，线段EF的长为d． (1)直线BC所对应的函数关系式为___________，抛物线所对应的函数关系式为___________； (2)求d与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)求d的最大值及此时点D的坐标． 5、已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 6、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限． （1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式； （2）连接AB，求AB的长； （3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论． 7、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． （1）如图①，若α=90°，求AA′的长； （2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，在图中画出点P的位置，并直接写出点P的坐标． 8、如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线，y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形ACD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”．此题中，是否存在“圣和点”．若存在，请求出“圣和点”P的坐标；若不存在，请说明理由． 9、如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）. （1）探究与的数量关系，并给予证明； （2）当时，试求旋转角的度数. 10、如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点． (1)求直线BC的函数表达式； (2)连接OD，CD，求△OCD周长的最小值； (3)在抛物线上是否存在一点E,使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由． 11、在中，，，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF． (1)如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE，若DE=4，求线段AF的长度； (2)如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，求证：； (3)如图3，连接CF和BE，若，当线段CF取最小值时，请直接写出的面积． 12、如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相交于点C． （1）求出二次函数的