第28章 锐角三角函数本章小结与复习（6）讲义2023-2024学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第28章 锐角三角函数 本章小结与复习 一、知识体系构建 2、 知识点归纳 知识点一 锐角三角形 锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 对边 邻边 斜边 A C B 注意 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60° 1 4. 正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 5 . 正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 知识点二 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= = 4. cos A= = 5. tan A= = 知识点三 解直角三角形解决实际问题 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 (2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即. （3）坡角：坡面与水平面的夹角； （4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 （5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角． 3、 高频考点 【考点1】求三角函数的值 【例1-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例1-2】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【例1-3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB的延长线上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ） A．2+ B．2 C．3+ D．3 针对练习1 1 .如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2 .如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点2】特殊角的三角函数值 【例2-1】如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ） A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 【例2-2】已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【例2-3】定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 针对练习2 1 .计算：． 2 .计算： 【考点3】解直角三角形 【例3-1】如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 【例3-2】如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（　　） A．米 B．2sin70°米 C．米 D．2.2cos70°米 【例3-3】如图，在中，，则的值为（ ） A． B． C． D． 针对练习3 1 .如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 2 .如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【考点3】三角函数的应用 【例4-1】如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处