28.2.1 解直角三角形（4） 讲义 2022—2023学年人教版数学九年级下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第28章 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 学习目标： 1 理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. 2 能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 老师对你说： 知识点一 、 解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 注意： 　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点二 、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 注意： 　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 基础提升 教材核心知识点精练 【考点1】 解直角三角形 【例1-1】在中，.若，，则 ， ， . 【例1-2】在中，，，，则边的长是（ ） A． B． C． D． 【例1-3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c （1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形 （2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形 （3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形． 【考点2】解非直角三角形 【例2-1】如图，在中，，，，求的面积． 【例2-2】如图，已知一居民楼前方处有一建筑物，小敏在居民楼的顶部处和底部处分别测得建筑物顶部的仰角为和，求居民楼的高度和建筑物的高度(结果取整数)． (参考数据:，) 【例2-3】如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ） A． B． C． D． 【考点3】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例3-1】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【例3-2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 能力强化提升训练 1 .如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段__________． 2 .已知：在△ABC中，AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 (即cosC＝)，则BC边的长是_________． 堂堂清 1、 选择题（每小题4分，共32分） 1．在中，，，，下列四个选项，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 3．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 5．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） 7．将矩形纸片 ，按如图所示的方式向上折叠，当折痕 与 边的夹角为 ， 时，图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8 .