3.4函数的应用（一）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.4函数的应用（一） 【学习目标】 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能利用分段函数模型解决实际问题. 【教材知识梳理】 一.常见的函数模型 常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (4)分段函数 y＝ 二．解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原. 概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　) (2)对于自变量在不同范围内，对应关系不同的函数关系一般可以用分段函数表示.(　　) (3)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　　) (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　) 【教材例题变式】 （源于P93例1）例1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量． （源于P94例2）例2.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆． 旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) （1）求函数的解析式； （2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 【教材拓展延伸】 例3．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 例4．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上. （1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式； （2）求梯形周长的最大值. 【课后作业】 基础过关 1.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表： 运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　) A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元 2．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（     ） A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．无法确定 3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（     ）m． A．400 B．12 C．20 D．30 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元/ 超过但不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距