3.3幂函数 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数 【学习目标】 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小. 【教材知识梳理】 一．幂函数的概念 1.一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；③幂xα的系数为1；④只有1项． 二．幂函数的图象 幂函数在第一象限内指数变化规律： 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应 的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上， 相应的指数由大变小. 三．五个重要的幂函数 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 单调性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)， 公共点 都经过点 四．一般幂函数的性质： （1）幂函数在第一象限内都有图象，且都过点（1，1）； （2）若α＞0，则幂函数的图象过（0，0），（1，1），且在[0，＋∞)上递增. ①当时，图象在第一象限内下凸（递增速度越来越快）； ②当时，图象在第一象限内上凸（递增速度越来越慢）. （3）若α＜0，则幂函数的图象过(1,1)，且在(0，＋∞)上递减，以x轴、y轴为渐近线. 概念辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　) (3)幂函数的图象都不过第四象限．(　　) (4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　) 【教材例题变式】 例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ (2)函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 例2.（源于P91例题）证明：幂函数是增函数. 【教材拓展延伸】 例3.研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图象. （1）；      （2）；      （3）；      （4）． 例4 (1)函数y=的图象是(　　) (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 例5比较下列各组数的大小. (1) ，，1； (2) ，，； (3)31.4 51.5. 例6（1）已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． （2）若，则实数m的范围是______________. 【课外作业】 基础过关 1.下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 2．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ） A． B． C． D． 3．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（     ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5.函数的图象大致为（       ） A．B．C．D． 6．（多选）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象过点，则________． 8.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为_________. 9．幂函数的图像经过点，点在幂函数的图像上. (1)求的解析式；(2)当为何值时，?当x为何值时，? 能力提升 10. 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 11．（多选）已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（     ） A． B． C． D．3 12．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（     ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时