3.2.1单调性与最大（小）值第三课时 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（第3课时） 【学习目标】 1.理解函数的最大(小)值的概念； 2.会求一些简单函数的最大（小）值． 【教材知识梳理】 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ∀x∈I，都有f(x) M ∀x∈I，都有f(x) M ∃x0∈I，使得 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( ) （2）一个连续函数在一个闭区间上必有最大值和最小值.( ) （3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( ) （4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( ) 【教材例题变式】 （源于P80例4）例1.（1）用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____________m. （2）某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为____________万元． （源于P81例5）例2.已知函数． (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值． 【教材拓展延伸】 例3．函数 ，. (1)画出函数的图象；(2)根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值． 例4．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3] (a，b∈R). (1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值． 例5.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)是R上的单调减函数． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值． 【课外作业】 基础过关 1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　) A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5] 2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　) A.f(2)，f(－2) B．f，f(－1) C．f，f D．f，f(0) 3.设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)(　　) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 4.函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（     ） A．[] B．[ ] C． D．[] 7．已知函数，若在上的值域为，则________. 8．函数在区间上的最小值为__________． 9．已知函数. (1)求函数的单调区间；(2)求函数的值域. 能力提升 10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 11．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（     ） A． B． C．1 D．2 12．（多选）已知函数，若，记，则（     ） A．没有最小值 B．的最大值为 C．没有最大值 D．的最小值为3 13．已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 14．设，.若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是___________. 15．设函数． （1）若对任意的上恒成立，求的取值范围； （2）若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围． 16．已知函数对任意的m，都有，且时，． (1)求的值： (2)证明在R上为增函数； (3)设函数，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且， 证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1单调性与最大（小）值（