3.2.1单调性与最大（小）值（2）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时） 【学习目标】 1.掌握处理函数单调性问题的基本方法. 2.能根据单调性解简单的抽象不等式. 【教材知识梳理】 1． 处理函数单调性的常用方法： 1.定义法 ① ，，若，则函数在区间上单调递增. ② ，，若，则函数在区间上单调递减. 2.图象法 若图象在区间上图象是上升的函数在区间上单调递增. 若图象在区间上图象是下降的函数在区间上单调递减. 3.利用小结论 ①若、在区间上都单调递增，则在区间上_______.简记为：增函数+增函数=增函数 类似的也有，减函数+减函数=减函数 ②若在区间上具有单调性，则与在区间上的单调性______. ③若在区间上具有单调性，且，则与的单调性_______. 4.复合函数的单调性法则：在复合函数中，若内层函数在区间上单调，当时，，且外层函数在区间上也单调，则复合函数在区间一定是单调函数，其规律是“同增同减复合增，增减相异复合减”，简称为同增异减法则. 二．抽象不等式的解法 1.已知函数在R上单调递增，若，则可转化为___________. 2.已知函数在R上单调递减，若，则可转化为___________. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若函数f(x)在R上单调递减，则f(0)>f(1)．(　　) （2）若函数在R上是单调递增，且，则. (　 　) （3）若函数f(x)在R上单调递增，则函数在R上单调递减. （ ） （4）若函数f(x)在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上一定不单调. （ ） 【教材拓展延伸】 例1．（1）函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． （2）已知，设函数，研究的单调性. 例2.（1）设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　 　) A．f(a)>f(2a)　　B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a) （2）已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与的大小． 例3.（1）已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是 . （2）已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围． 例4．设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，． (1)求；(2)证明：时，恒有；(3)求证：在上是减函数． 【课外作业】 基础过关 1．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． 2．函数 的单调递增区间是（　　　） A． B．[1，） C．[2，） D．[4，） 3.设函数在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 4．设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（     ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（     ）单调递增. A． B． C． D． 6．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数满足时恒有成立，求实数a的取值范围为___________． 8.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________． 9.讨论函数（）在(－2，＋∞)上的单调性． 能力提升 10．已知为区间上的减函数，且，则（ ） A． B． C． D． 11．（多选）已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（     ） A．为增函数 B．为增函数 C．的解集为 D．的解集为 12．（多选）若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（     ） A．4 B．6 C．7 D．10 13．已知函数是定义在上的减函数，且对一切都成立，则实数的取值范围是_____________. 14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________. 15．已知函数 (1)若，求的定义域. (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 16．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明；(2)解不等式：． 学科网（北京）股份有限公司