3.2.1单调性与最大（小）值第一课时 学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时） 【学习目标】 1.理解单调递增、增函数、单调递减、减函数的定义． 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤． 3.掌握已学的基本初等函数的单调区间. 【教材知识梳理】 一．单调递增与增函数、单调递减与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有 都有 结论 那么就称函数f(x)在区间D上______ 特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递增时，就称它是_________. 那么就称函数f(x)在区间D上是______特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递减时，就称它是_________. 图示 解读：1.在单调性的定义中，特别注意条件中x1，x2的任意性. 2.单调性刻画了区间D上任意两个自变量大小与函数值大小之间的联系. 3.设x1，x2∈D，则函数f(x)在区间D上单调递增与下列条件都等价（递减类似）. ①对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)； ②对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0； ③对任意x1、x2都有 >0. 二．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________. 解读：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间必定是定义域的子区间，单调性是函数的一个局部性质． 三．基本初等函数的单调区间： 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0)与 一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 ____________ k＜0 ___________ 无 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－] a＜0 (－∞，－] [－，＋∞) 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) （2）一个函数可以有无数多个单调区间.（ ） （3）一次函数y＝kx＋b在定义域R上具有单调性.（ ） （4）函数y＝在定义域上是减函数.（ ） （5）任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，都有单调增区间和单调减区间.（ ） 【教材例题变式】 （源于P78例1）例1．已知函数，其中，试讨论的单调性. （源于P78例2）例2．已知函数，其中. （1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论. （源于P78例3）例3.已知函数，用定义法证明：函数是区间上的减函数． 【教材拓展延伸】 例4.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上的单调性． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)y＝|x2－2x－3|． 例5.函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2， (1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________． (2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 例6.（1）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围____________. （2）已知函数f(x)＝若函数f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是____________． 【课外作业】 基础过关 1．若函数，在其定义域上是增函数，则（     ） A． B． C． D． 2．下列四个函数在是增函数的为（　　） A． B． C． D． 3．函数在是增函数，若，则有  （     ） A． B． C． D． 4．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（     ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 5．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 7．若函数的单调递增区间是，则=________. 8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是____________. 9．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并