专题04 数列中的其他综合压轴题型（含摆动数列、开放性、新定义、应用、创新题型等五类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题4 数列中的其他综合压轴题型 （含摆动数列、开放性、新定义、应用、创新题型） 数列的运算中含加、减、乘、除、乘方与开方，指数与对数，还有不等号等，形式多样化，方法灵活，题意新颖，要求考生具有扎实的基础知识和较高的数学能力，包括题目阅读能力，细节观察能力，转化与化归思想，特殊与一般思想，分类思想等，从而使数列成为高考和其它选拔性考试的一种常见题型，值得我们好好重视，多维度观察与学习。 本节学习内容： 摆动数列题型：分段函数形式：， ， 含数列 等和数列、相加为变量、 等积数列、相乘为变量 开放性题型：答案不唯一，属于发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括． 新定义题型：考察对定义的理解，结合新数列的新性质与数列常用基本“旧”性质，进行综合分析能力，主要是将新性质顺势准确的应用在“旧”性质上，从而顺利解题. 应用题型：数列应用题通常以实际问题为背景，以数学建模为核心，以求解问题为目标，重点考查学生的数列知识和分析问题与解决问题的能力．数列应用于生活的方方面面，经常用于分期付款、产值增长等. 常用解题思路：审题、建模、研究模型、解决问题. 常用数列知识有等比数列求和、数列递推关系式，数列单调性，数列与指对运算相结合等. 创新题型：创新题一般与探究推理相结合，考查学生逻辑推理、信息加工、阅读理解、分析问题和解决问题的能力，第一需要准确理解题意，确定该问题是数列问题；第二分析数量关系.从特殊到一般，找到数量规律，进行归纳与类比或猜想；第三构建数学模型，通过观察发现规律，把实际问题转化为数学问题，解决数学问题. 题型一 摆动数列 1. 已知数列满足，. (1)记，写出、，并求数列的通项公式； (2)求的前项和. 2．是等差数列的前项和，数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 3．已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 4．数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时， ． 6．已知数列的各项均为非负实数，且对任意正整数，均有. (1)若成等差数列，证明：存在无穷多个正整数，使得； (2)若，求的最大值. 练习题： 1．已知数列满足,. (1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式; (2)证明（1）中你的猜想; (3)若数列的前n项和为,求. 2．设正项数列的前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 3．(多选)已知数列的前项和满足，，则（    ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 4．已知数列满足（是常数）. (1)若，证明是等比数列； (2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和. 5．如图，平面四边形中的面积是面积的两倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前项和为 ． 6．已知数列的前n项和为，，且，若，则 ． 题型二 开放性题型 1．设是数列的前项和，写出同时满足下列条件数列的一个通项公式: .   ①数列是等差数列； ②，； ③， 2．若数列满足，则称为E数列.记. (1)写出一个满足，且的E数列； (2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由. 3．已知各项均为整数的数列.满足，且对任意，都有.记. （1）若，写出一个符合要求的； （2）证明：数列中存在使得； （3）若是的整数倍，证明：数列中存在使得. 4．已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m)． 条件①：an＞0（n＝1，2，…）； 条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）； 条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）． （1）若an＝5＋4（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值； （2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通