专题03 数列求和三大压轴题型（分组、错位相减、裂项相消法）（ 四类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选必第二册）

专题3 数列求和三大压轴题型 （分组、错位相减、裂项相消法） 1、 分组求和法 常见题型： 1）形如等差+等比、等差+等差*等比、等差+裂项等等可以拆分为两个数列的形式； 2）形如这种奇偶项分开的数列求和时，用分组求和法. 2、 错位相减法 数列的通项为或（公比为：），即“等差*等比数列”，求其前n项和. 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列的前项和． 基本步骤 用错位相减法求数列前项和过程可概括为“一加、二乘、三减、四除”八字 一加：将数列的各项展开相加 ① 二乘：对所列等式的每一项都乘上等比数列的公比 ② 三减：将列出的两等式上减下，错位相减，①-②得 四除：右侧括号部分用等比求和公式，注意为项，左右两边同时除以，再整理结果 3、 裂项相消法: 常见求和类型有： 分式型：， ， ， ， 等； 指数型：， 等； 摆动型：； 根式型：等； 对数型：，且； 题型一 分组求和法 典例1．已知数列满足，，则的前n项和为 . 典例2．数列满足，. (1)若，求证：是等比数列. (2)若，的前项和为，求满足的最大整数. 典例3．设数列的前n项和为，已知，则 . 典例4．已知数列中，，. (1)判断是否为等比数列？并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 练习题： 1．已知数列满足首项，，则数列的前2n项的和为 ． 2．已知数列的前项和为，，，若数列满足，，则 . 3．已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 4．数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和． 题型二 错位相减法 典例1．（多选）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 典例2．（多选）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（    ） A． B． C． D． 典例3．已知函数． (1)当时，证明：； (2)数列的前项和为，且； （ⅰ）求； （ⅱ）求证：． 4．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求； (3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：. 练习题： 1．（多选）已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知定义在上且不恒为的函数，若对任意的，都有，则（    ） A．函数是奇函数 B．对，有 C．若，则 D．若，则 3．某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下： ①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关. ②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战. ③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战. ④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关. (1)求随机变量的分布列； (2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关. （i）求随机变量的分布列 （ii）证明. 4．各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和． 题型三 裂项相消法 典例1．数列中，，，则（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 典例2. 已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求k的最小值． 典例3．设数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 典例4．已知正项数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列，求数列前项和的值． 典例5． 【含指数+裂项相消法】已知