2.2基本不等式（2）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式（第2课时） 【学习目标】 1.能够利用基本不等式证明不等式； 2.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题； 3.了解均值不等式及其应用. 【教材知识梳理】 一．通过变形构造定值的方法 如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值，需要通过变形，构造定值，常见方法有配项法，配系数法，“1”的代换等. 二．均值不等式： 若，，则. 当且仅当时，等号成立. 本质： 调和平均数≤几何平均数≤算数平均数≤平方平均数 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝x＋（），由于与的积不是常数，所以不能用基本不等式求最小值.(　　) (2) 任意的正数， 且，都有.(　　) (3)若，，则.(　　) (4)若，，则.(　　) 【教材例题变式】 （源于P46例3）例1.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ （源于P47例4）例2.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______（单位：元） 【教材拓展延伸】 例3.（1）已知，，，则的最小值为_______. （2）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________. （3）已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________. 例4．（多选）设正实数，满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 （2）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是____________(写出所有正确命题的编号)． ①； ②+≤； ③；④；⑤ . 例5．（1）已知，且，求证：. （2）已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 【课外作业】 基础过关 1．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 2．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．，的大小无法确定 3．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ） A．3 B．4 C． D． 5．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为（ ） A．－1 B．＋1 C．2＋2 D．2－2 6．（多选）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值是__________． 8．设,则的最大值为 ________． 9．已知，，． (1)求的最小值； (2)求证：． 能力提升 10．若，则下列代数式中值最大的是（ ） A． B． C． D． 11．（多选）设正实数a，b满足，则（      ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 12．（多选）若x，y满足，则（     ） A． B． C． D． 13．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 14．已知实数、、满足，，则的最大值为_______. 15．已知a，b都是正数，求证：(1)； (2)． 16．已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式（第2课时） 【学习目标】 1.能够利用基本不等式证明不等式； 2.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题； 3.了解均值不等式及其应用. 【教材知识梳理】 一．通过变形构造定值的方法 如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直