4.3.1等比数列的概念课件（第二课时）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

（第二课时） 4.3 等比数列的概念 1.等比数列的定义 2. 通项公式 4.等比数列的判断 3. 等比中项 (an)2=an-1.an+1 a,G,b成等比数列 复习回顾 不完全归纳法、累乘法 1.若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？ 2.若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？ √ √ √ × √ 练习 3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5） (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 等差数列与等比数列的类比 等差数列 等比数列 定义 首项、公差（公比）取值有无限制 通项 公式 主要 性质 (2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*) 则 am· an=ak· al . (2)若m+n=k+l (m,n,k,l∈N*) 则 am+an=ak+al . 类比探究 猜想等比数列相应的性质？ 例1.等比数列{an}中, 已知m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 则aman=asat . 证明：设等比数列{an}的公比为q，则 am=a1qm-1，an=a1qn-1, ak=a1qk-1，al=a1ql-1, 所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2, akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 . 在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积, 典例分析 1.等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。 法二：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512 ∵ 公比 q 为整数， 巩固练习 2.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 =_______. 解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6， ∴ a5a6=a4a7=3， 则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1‧a2‧ a3 ‧…‧a10) =log3 (a5a6)5 =log335=5 . 分析：需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。 典例分析 实际应用 例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？ 分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息. 所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r), a(1+r)2, …构成等比数列. 认真读题、审题，说出大致解题思路！ 例3. 用 10 000元购买某个理财产品一年. (2)若以季度复利计息, 存4个季度, 则当每季度利率为多少时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？ 解: (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列 {bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 b4=104(1+r)4. 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. [104(1+r)4-104]元. 解不等式104(1+r)4-104≥491，得r ≥1.206%. 一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. 归纳总结 例4. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%, 产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 产量 不合格率 等比数列 等差