期末复习专号 数学思想+能力考查-【数理报】新教材2023-2024学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

2版——数学思想 高中数学·必修第一册（人教A版）复习专号 展现集合与常用逻辑用语中的数学思想 由(1)(2)(3)知a=1或a≤-1. 一、函数与方程思想 分析：首先明确P→9是充分性，9→P是必要性，其 次明痛方程x2+mx+程■0有两个小于1的正根的含 点评：本题分奥讨论的标准为集合B中元素的个 义是0<黑1<1.0<名<1 数，从而按照B中元素的个敦从小到大的顺序来讨论 药数与方程紧密相连，高数与方程的惑想就是用 解：当-2<m<0,0<n<1时，方程对应的函数可避免重复与速满. 函级，方程的现点和方法处理支量之问的美系，从而解 例6求2+2x+1=0(a≠0)至少有一个负实 决网题的一种方法。 x)=2+mr+n的对称轴为：=-罗e(0,1),且 根的充要条件 例1国已知集合A=a,a+b,a+2b,B=a,c, 满足n=尺0)(0,1)，但函数不一定与x轴有交点， 即△=m2-4m不一定大于等于0，所以不满足充分性， 分析：方程至少有一负根色括，一正一负根，两负 ac21.若A■B,求e的慎. 分析：要解决c的求值问题，关纯是要有方程的数 反之，若方程有两个大于0小于1的根，则必有对 桃（两根软为】，无零根），还要考虑山的正负号，也可 学思想，光题应报据相等的两个条合中的元素宠企相称轴0<-受<1，且R0)>0,且4≥0， 以从至少一负根的反面入手， 同及集合中元素的确定性、至异性、无序性建立关原 ,-2<m<0, 式。分两种情记进行诗论 解：()+b=c消去6得a+c-2ac=0 以>0.得0<≤年 解因为a兰04为= 所以方程至少有一负根应有： m2-4m≥0， o +2b a ac'. 又m2<4,则n<1, r4■4-4g>0. 当。=0时，集合B中的三个元素均为零，与元素 (1)正负根各有一个，此时 =1<0 的互异性相矛盾，故≠0. o,是9的必医体 以c2-2e+1=0.解得e=l. 解得4<0： 点评：判断充分、必要条件问题，我们要准意把问 但：=1时，B中的三个元素又相同，故应舍去 .4=4-4a≥0. 题转化到同等条件下再来判斯，对于方程根的分有问 a代法4得2-0 题，我们通常利用函敏的思想去解决，注意方程与函数 (2)两负根，此时应有 +=-2<0, a 的内在联系 因为a≠0，所以2e2-e-1=0, 即(ce-)(2e+)=0又e≠1，故c=-2 二、分类讨论思想 解得0ca≤1. 所以方程至少应有一负根的充要条件是：|a写 综上所述c的值为一立 分类时论思想就是从所研完的具体问题出发，根 1,且a≠0 日含有三个实数的集合可表示为{普小，瓷共作是的是曲大化小，由装华化年分，曲一发化特 据对象的隔性，不重不漏地刻分为若千部分，漫一解 点评：求充要条件问题，我们要注意题设条件，根 培条件我们要注意分析我们的解题思路，岩是有至多 也可表示为a2,4+6.0,则a2四+公回的值为殊的思想 至少等字眼时，除了用间楼方法外，我们若是直揍求解 例4A={x1a≤x≤2a+1.B=|xlx≥3！， 一定要注意对各种类型的讨论 分析：要求C+62m的值，只劣要先求出a,b即 求满足A门B=A的a的果合 例7已知a>0,命题：y=在R上单调递减。 可：根据集合相等就念建立方程，求解参数，一般从两 角度运用方棋思想解题， 分析：周为集合A中合有字#红A是香为非空集合命题：eR-5x+1,0,若命题p,9一真 还不一定，故须对A讨论方能得出正确结论 解法-由题知{，}=da+6.01 解：因为AnB=A,所以ACB 假，求实数：的取值范出。 (1)当A=⑦时，满足A二B, 分析：国为命题P,9一真一假，对命题户，9的真服分 m以0e{a,÷} 美讨论脚可求出：的取值范国. 此时a>2a+1,解得4<-1： 显然a≠0，否则片无意义， (2)当A≠☑时，若使A二B,须满足 解：根据题总，当命超：“y=。在R上单调递减” 为真命题时，0<a<1: 3≤4≤2a+1,解得u≥3 于是只有合=0.所以6=0 综上所述，当4<-1或a≥3时，A∩B■A 而当命题9：“YxsR,2-5x+1>0”为真命 2 故所求的a的集合为a1a<-1或a≥3{. 则a.0,1=fa2,a0. 例5设集合A=xx2+4x=0,B=x1x2+ 圈时d:25-4×空2<0，解得a>名 所以a2=1,解得=±1， 2(a+1)x+a2-1=0.若A∩B=B,求a的值 因为命题，q一真一假 根据元素的互异性知？。一1， 前以2四+四=(-1)四+02@=-1. 分析：由A门B=B可得BCA,所以可知B有三种 ①当命题p为真，9为假时， 可能，应从三个方面B=☑，B为单元素集、B为双元素 0<a<1, 点评：运用元素性质和方程思忽解题要从两方