清单13 与二次函数相关的10种存在性问题 -2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

清单13 与二次函数的相关的存在性问题 【题型清单】 【考试题型1】二次函数中等腰三角形的存在性问题 1．（2023上·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023下·吉林松原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点D、E是线段BC上的两点（点E在点D的右侧），，过点D作轴，交抛物线于点P，过点E作轴于点F，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)如图②，在（2）取得面积最大的条件下，连接，将线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，当点在第二象限时，设G为y轴上的动点，是否存在以为斜边的等腰？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2022上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，是斜边上的中线，点是射线上的一点，以为斜边向左侧作等腰直角，连接．    (1)当点在线段上（点与点、点不重合），求证：； (2)在（1）的条件下，设，的面积为y，求y关于的函数关系式及其定义域； (3)探究：当点在射线上运动时，是否可以成为等腰三角形？若可以，求出的长度；若不可以，请说明理由． 【考试题型2】二次函数中直角三角形的存在性问题 1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求拋物线及直线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，是否存在点F使的面积最大，若有则求出点F坐标及最大面积； (3)连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2023·湖南怀化·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【考试题型3】二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 1．（2023上·广东珠海·九年级珠海市紫荆中学校考阶段练习）如图①，已知抛物线L：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接、，当面积最大时，求出P点坐标； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，拋物线交轴于点、，交轴于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限的点，连接交轴于点，若点的横坐标为，的长为，用含的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点在线段上，轴交抛物线于点，以为斜边在的上方作等腰直角，延长交抛物线于点，连接，若，，求点的坐标． 3．（2021上·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)为的中点，动点从点出发，先到达轴上的点，再走到抛物线对称轴上的点，最后返回到点．要使动点走过的路程最短，请找出点、的位置，写出坐标，并求出最短路程． (3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【考试题型4】二次函数中全等三角形的存在性问题 1．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点