第20期 核心素养阶段测评(一)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 热点问题１　求直线的方程 例１若直线ｌ过点（３，４），且（１，２）是它的一个法向 量，则直线ｌ的方程为 ． 解析：由于（１，２）是直线的一个法向量，则直线方 程为１×（ｘ－３）＋２×（ｙ－４）＝０，即ｘ＋２ｙ－１１＝０， 故填答案：ｘ＋２ｙ－１１＝０． 点评：本题主要考查了直线的法向量与直线方程的 求解． 热点问题２　求参数的值 例２若直线ｘ－２ｙ＋５＝０与直线２ｘ＋ｍｙ－６＝０ 互相垂直，则实数ｍ＝ ． 解析：由于直线ｘ－２ｙ＋５＝０与直线２ｘ＋ｍｙ－６＝ ０互相垂直， 则有Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２ ＝１×２－２×ｍ＝０， 解得ｍ＝１． 点评：本题主要考查了两条直线的位置关系，以及 两直线互相垂直的等价关系式的应用等．解决此类问 题，可以从直线的系数关系式入手，也可以从直线的斜 率关系式入手加以分析与研究． 热点问题３　求最值 例３已知直线ｌ１：５ｘ－２ｙ＋３ｍ（３ｍ＋１）＝０与ｌ２： ２ｘ＋６ｙ－３ｍ（９ｍ＋２０）＝０，当ｍ为何值时，两直线ｌ１， ｌ２的交点到直线４ｘ－３ｙ－１２＝ ０的距离最小？这个最小值是多 少？ 分析：本题为最值问题，可 根据题意构造方程组解出含有 参数 ｍ的交点坐标，然后根据 点到直线的距离公式求解． 解析：由 ５ｘ－２ｙ＝－３ｍ（３ｍ＋１）， ２ｘ＋６ｙ＝３ｍ（９ｍ＋２０{ ）， 解得ｘ＝３ｍ，ｙ＝ ９２ｍ ２＋９ｍ， 所以ｄ＝ ４·（３ｍ）－ (３ ９２ｍ２＋９ )ｍ －１２ ４２＋３槡 ２ ＝２７ (１０ ｍ＋５ )９ ２ ＋４７８１ ． 所以当ｍ＝－５９时，距离最小，其值为 ４７ ３０． 点评：有关最值问题常常构造函数，运用函数的性 质或运用基本不等式求解． 热点问题４　两直线的位置关系 例４设直线ｌ：ｙ＝ｋ１ｘ＋１，ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ－１，其中实数 ｋ１，ｋ２满足ｋ１ｋ２＋２＝０． （１）证明：ｌ１与ｌ２相交； （２）证明：ｌ１与ｌ２的交点在椭圆２ｘ ２＋ｙ２ ＝１上． 证明：（１）反证法，假设ｌ１与ｌ２不相交．则ｌ１与ｌ２平 行，有ｋ１ ＝ｋ２，代人ｋ１ｋ２＋２＝０，得ｋ ２ １＋２＝０． 此与ｋ１为实数的事实相矛盾．从而ｋ１≠ｋ２，即ｌ１与 ｌ２相交． （２）由方程组 ｙ＝ｋ１ｘ＋１， ｙ＝ｋ２ｘ－１ { ， 解得交点Ｐ的坐标（ｘ，ｙ）为 ｘ＝ ２ｋ２－ｋ１ ， ｙ＝ ｋ２＋ｋ１ ｋ２－ｋ１ { ， 而２ｘ２＋ｙ２ ＝ (２ ２ｋ２－ｋ )１ ２ (＋ ｋ２＋ｋ１ｋ２－ｋ )１ ２ ＝ ８＋ｋ２２＋ｋ ２ １＋２ｋ１ｋ２ ｋ２２＋ｋ ２ １－２ｋ１ｋ２ ＝ ｋ２１＋ｋ ２ ２＋４ ｋ２１＋ｋ ２ ２＋４ ＝１． 此即表明交点Ｐ（ｘ，ｙ）在椭圆２ｘ２＋ｙ２ ＝１上． 热点问题５　直线与其他曲线的交汇问题 例５已知点Ａ（０，２），Ｂ（２，０）．若点Ｃ在函数ｙ＝ｘ２ 的图象上，则使得△ＡＢＣ的面积为２的点Ｃ的个数为 （　　） （Ａ）４　　　　（Ｂ）３　　　　（Ｃ）２　　　　（Ｄ）１ 分析：表示△ＡＢＣ的面积，需要利用两点之间的距 离公式求得ＡＢ的长度，此外还需要求出哪个量？利用哪 个公式表示出来？ 解析：设Ｃ（ａ，ａ２），由己知得直线ＡＢ的方程为 ｘ２＋ ｙ ２ ＝１，即ｘ＋ｙ－２＝０． 点Ｃ到直线ＡＢ的距离为ｄ＝｜ａ＋ａ ２－２｜ 槡２ ， 由三角形ＡＢＣ的面积为２可得 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２｜ＡＢ｜ｄ ＝ １２ ×２槡２× ｜ａ＋ａ２－２｜ 槡２ ＝｜ａ＋ａ２－２｜＝２， 得ａ２＋ａ＝０或ａ２＋ａ－４＝０．显然方程共有四个 根，可知函数ｙ＝ｘ２的图象上存在四个点使得△ＡＢＣ的 面积为２．所以选择（Ａ）． 书 例题 设抛物线Ｃ：ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准 线为ｌ，Ａ为Ｃ上一点，已知以Ｆ为圆心，ＦＡ为半径的圆Ｆ 交ｌ于Ｂ，Ｄ两点．若∠ＢＦＤ＝９０°，△ＡＢＤ的面积为４槡２， 求ｐ的值及圆Ｆ的方程． 命题立意：本题考查通过抛物线与圆的交汇问题求 抛物线的标准方程及圆的方程．圆锥曲线之间的交汇问 题，不外乎椭圆与双曲线、椭圆与抛物线、双曲线与抛物 线或它们跟圆的交汇．这些知识广泛“牵手”，就组成一 幅幅绚丽多姿的图画，构成变化多端、引人入胜的各种 变式题，如用来求点的坐标、轨迹方程等等，涉及的知识 点较多，综合性强，能力要求高，能有效地考查相关知识 和各种能力． 解析：由对称性知，△ＢＦＤ是等腰直角三角形，斜边 ｜ＢＤ｜＝２ｐ， 点Ａ到准线ｌ的距离为 ｄ＝｜ＦＡ｜＝｜ＦＢ｜＝槡２ｐ， Ｓ△ＡＢＤ ＝４槡２ １ ２×｜ＢＤ｜×ｄ＝４槡２ｐ＝２． 圆Ｆ的方程为ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝８． 看交汇一：圆与抛物线交汇 例１如图１，圆 Ｏ：ｘ２＋ｙ２ ＝ １６，Ａ（－２，０），Ｂ（２，０）为两定点． ｌ是圆Ｏ的一条切线，若过Ａ，Ｂ两 点的抛物线以直线ｌ为准线，则抛 物线的焦点所在的轨迹是（