第18期 用向量方法研究立体几何中的度量关系(空间中的距离问题)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 一、空间两点间的距离 ① 设 ａ ＝ （ｘ，ｙ，ｚ），用公式 ｜ａ｜＝ ａ槡 ２ ＝ ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡 ２求解． ②设Ａ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 →ＡＢ＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１， ｚ２－ｚ１），｜ →ＡＢ｜＝ （ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＋（ｚ２－ｚ１）槡 ２． 例１如图 １所示，在长 方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， ＡＢ＝ＢＣ＝２，ＡＡ１ ＝槡２，Ｅ， Ｆ分别是面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，面 ＢＣＣ１Ｂ１的中心，则Ｅ，Ｆ两点 间的距离为 ． 解：以点Ａ为原点，→ＡＢ，→ＡＤ，ＡＡ→ １的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的 正方向建立空间直角坐标系， 则点 Ｅ（１，１，槡２）， (Ｆ ２，１，槡２)２ ，所以 ｜→ＥＦ｜＝ （２－１）２＋（１－１）２ (＋ 槡２２－槡 )２槡 ２ ＝槡６２． 二、点Ａ到直线ａ的距离 如图２，设Ｂ为直线ａ上一点，ａ为 直线ａ的方向向量，→ＡＢ在向量ａ方向上 的投影向量的模为 →ＡＢ·ａ ｜ａ｜ ，则点 Ａ 到直线ａ的距离ｄ＝ ｜→ＡＢ｜２ (－ →ＡＢ·ａ｜ａ )｜槡 ２ ． 例２（２０２３辽宁锦州高二期末）直线ｌ的方向向量 为ｍ＝（１，０，－１），且ｌ过点Ａ（１，１，１），则点Ｐ（－１，２， １）到ｌ的距离为 （　　） （Ａ）槡２ （Ｂ）槡３ （Ｃ）槡６ （Ｄ）２槡２ 解：依题意， 直线ｌ的一个单位方向向量为 μ＝ ｍ｜ｍ｜ (＝ 槡２２，０，－槡２)２ ，→ＰＡ＝（２，－１，０）， 所以｜→ＰＡ｜＝ ２２＋（－１）２＋０槡 ２ ＝槡５， →ＰＡ·μ＝槡２， 所以ｄ＝ →ＰＡ２－（→ＰＡ·μ）槡 ２ ＝ ５－槡 ２＝槡３． 故选：（Ｂ）． 三、两平行直线ａ，ｂ之间的距离 如图３，两平行直线 ａ，ｂ之间的距 离可以看成直线ｂ上一点Ａ到直线ａ的 距离，则ｄ＝ ｜→ＡＢ｜２ (－ →ＡＢ·ａ｜ａ )｜槡 ２ ， 其中Ａ∈ｂ，Ｂ∈ａ，ａ是直线ａ的方向向量． 四、异面直线ａ，ｂ之间的距离 如图４，设Ａ∈ａ，Ｂ∈ｂ，直线ａ，ｂ的 公共法向量为ｎ，则异面直线ａ，ｂ之间的 距离为向量 →ＡＢ在ｎ方向上投影向量的 模，即ｄ＝｜ →ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ，其中ｎ⊥ａ，ｎ⊥ｂ， Ａ∈ａ，Ｂ∈ｂ． 例３（２０２３苏州阶段练习）在正四棱柱 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，已知ＡＢ＝２，ＡＡ１ ＝１，求异面直线ＡＢ１与 Ａ１Ｃ１的距离． 解：由已知ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１两两垂直， 故以Ｄ为原点，→ＤＡ，→ＤＣ，ＤＤ→ １为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则 Ａ（２，０，０），Ｂ１（２，２，１），Ａ１（２，０，１），Ｃ１（０，２，１）， Ｂ（２，２，０）， 故ＡＢ→ １ ＝（０，２，１），Ａ１Ｃ→ １ ＝（－２，２，０），Ｂ１Ｃ→ １ ＝ （－２，０，０）， 设向量ｎ⊥ＡＢ→ １，ｎ⊥Ａ１Ｃ→ １，ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ２ｙ＋ｚ＝０， －２ｘ＋２ｙ＝０{ ，取ｘ＝１，可得ｙ＝１，ｚ＝－２， 所以满足条件的一个向量ｎ＝（１，１，－２）， 所以异面直线ＡＢ１与Ａ１Ｃ１的距离为向量Ｂ１Ｃ → １在向 量ｎ上的投影向量的模，即 ｜Ｂ１Ｃ → １·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ ２ 槡６ ＝槡６３． 五、点Ａ到平面α的距离 如图５，设ｎ为平面α的法向量， ＡＢ是平面α的一条斜线，Ｂ∈α，则点 Ａ到平面α的距离等于向量→ＡＢ在ｎ方 向上投影向量的模，即ｄ＝｜ →ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ． 例４如图 ６所示，正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｏ 是底面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的中心，则 Ｏ 到 平 面 ＡＢＣ１Ｄ１ 的 距 离 为 ． 解：以Ｄ为原点，→ＤＡ，→ＤＣ，ＤＤ→ １的方向为 ｘ，ｙ，ｚ轴正 方向建立空间直角坐标系， 易得 (Ｏ １２，１２， )１ ，Ａ（１，０，０），Ｄ１（０，０，１），Ｂ（１， １，０）， →ＡＢ＝（０，１，０），ＡＤ→ １＝（－１，０，１），→ＡＯ (＝ －１２，１２，)１ ， 设平面ＡＢＣ１Ｄ１的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， →ＡＢ·ｎ＝ｙ＝０， ＡＤ→ １·ｎ＝－ｘ＋ｚ＝０ { ， 令ｘ＝１，则ｎ＝（１，０，１）， 所以Ｏ到平面ＡＢＣ１Ｄ１的距离 ｄ＝｜ →ＡＯ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ －１２＋１ 槡２ ＝槡２４． 点评：本题考查点到平面的距离的求法，常用的方 法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方 法求解是比较方便的方法． 六、直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转 化为点到平面的距离 如图７，直线ｌ到平面α的距离可转化为直线ｌ上一 点Ａ到平面 α的距离，即直线 ｌ到平面 α的距离 ｄ＝ ｜→ＡＢ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ． 如图８，与平面α平行的平面β到平面α的距离等于 平面β上一点Ａ到平面α的