第17期 用向量方法研究立体几何中的度量关系(空间中的角)-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 空间向量的引入，使立体几何问题的难度大大降 低．因此，正确理解和运用向量方法，对备战高考有重要 意义． 一、异面直线ｍ，ｎ所成的角 例１直棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＢ１ ＝ ｃ，求异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余 弦值． 解：如图１，以 Ｂ为坐标原点，ＢＡ， ＢＣ，ＢＢ１所在的直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建 立空间直角坐标系，则 Ａ（ａ，０，０）， Ｂ１（０，０，ｃ），Ｃ１（０，ｂ，ｃ），ＡＢ → １ ＝（－ａ，０，ｃ），ＢＣ → １ ＝（０，ｂ，ｃ）， 故ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ＢＣ→ １〉＝ ＡＢ→ １·ＢＣ→ １ ｜ＡＢ→ １｜·｜ＢＣ→ １｜ ＝ ｃ ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ， 所以异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余弦值为 ｃ２ （ａ２＋ｃ２）（ｂ２＋ｃ２槡 ） ． 二、直线ｌ与平面α所成的角 例２已知正三棱柱 ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的侧棱长为２，底面边长为１．求ＡＢ１与 侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值． 解：如图２，建立以 Ａ为坐标原点 的空间直角坐标系，则ＡＡ→ １＝（０，０，２）， →ＡＣ＝（０，１，０）， 设平面ＡＣＣ１Ａ１的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则有 ｎ·ＡＡ→ １ ＝０， ｎ·→ＡＣ＝０{ ，即 ２ｚ＝０，ｙ＝０{ ， 令ｘ＝１，得ｎ＝（１，０，０）， 则｜ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ｎ〉｜＝ ｜ＡＢ→ １·ｎ｜ ｜ＡＢ→ １｜·｜ｎ｜ ( ＝ 槡３ ２， １ ２， )２ ·（１，０，０ ( ） 槡３)２ ２ (＋ １ )２ ２ ＋２槡 ２· １槡 ２ ＝槡１５１０， 故ＡＢ１与侧面ＡＣＣ１Ａ１所成角的正弦值为槡 １５ １０． 三、两个平面所成的角 例３如图３，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分 别是棱ＢＣ，ＣＣ１上的点，ＣＦ＝ＡＢ＝２ＣＥ，ＡＢ∶ＡＤ∶ＡＡ１＝ １∶２∶４． （１）证明：ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ； （２）求二面角Ａ１－ＥＤ－Ｆ平面角的正弦值． 解：如图４，建立空间直角坐标系Ａｘｙｚ，不妨设ＡＢ＝１， 则 Ａ（０，０，０），Ｄ（０，２，０），Ｅ１，３２，( )０，Ｆ（１，２，１）， Ａ１（０，０，４）． （１）因为→ＡＦ＝（１，２，１）， Ａ１ → Ｅ＝ １，３２，－( )４，Ａ１→ Ｄ＝（０，２，－４）， 所以 →ＡＦ·Ａ１→ Ｅ＝１＋２× ３ ２－４＝０， →ＡＦ·Ａ１→ Ｄ＝２×２－４＝０， 所以ＡＦ⊥Ａ１Ｅ，ＡＦ⊥Ａ１Ｄ， 因为Ａ１Ｅ∩Ａ１Ｄ＝Ａ１， 所以ＡＦ⊥平面Ａ１ＥＤ． （２）设平面ＥＦＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 因为 →ＥＦ＝ ０，１２，( )１，→ＥＤ＝ －１，１２，( )０， 则有 ｎ·→ＥＦ＝０， ｎ·→ＥＤ＝０{ ，得 １ ２ｙ＋ｚ＝０， －ｘ＋１２ｙ＝０ { ， 令ｚ＝１，则ｘ＝－１，ｙ＝－２． 所以ｎ＝（－１，－２，１）． 由（１）可知→ＡＦ＝（１，２，１）是平面Ａ１ＥＤ的一个法向量， 设平面Ａ１ＥＤ与平面ＦＥＤ所成的二面角为θ， 则观察图形可知θ为锐角， 所以ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈→ＡＦ，ｎ〉｜ ＝ （１，２，１）·（－１，－２，１） （槡６） ２ ＝ ２ ３， 所以ｓｉｎθ＝ １－ ２( )３槡 ２ ＝槡５３． 所以二面角Ａ１－ＥＤ－Ｆ平面角的正弦值为槡 ５ ３． 例４已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＡＣ⊥ ＢＣ，ＰＡ＝ＡＣ＝１，ＢＣ＝槡２，求二面角 Ａ－ＰＢ－Ｃ的平面角的余弦值． 解法１：如图５所示，取ＰＢ的中 点Ｄ，连接ＣＤ． 因为ＰＣ＝ＢＣ＝槡２， 所以ＣＤ⊥ＰＢ． 作ＡＥ⊥ＰＢ于Ｅ，那么二面角Ａ－ＰＢ－Ｃ的平面角 的大小就等于异面直线ＤＣ与ＥＡ所成角的大小． 设平面ＰＡＢ与平面ＰＢＣ夹角为θ． 在Ｒｔ△ＰＡＢ中，易知ＰＢ＝２． 因为ＰＤ＝１，ＰＥ＝ＰＡ ２ ＰＢ ＝ １ ２， 所以ＤＥ＝ＰＤ－ＰＥ＝ １２． 又ＡＥ＝ＰＡ·ＡＢＰＢ ＝ 槡３ ２，ＣＤ＝１，ＡＣ＝１， →ＡＣ＝→ＡＥ＋→ＥＤ＋→ＤＣ，且→ＡＥ⊥ →ＥＤ，→ＥＤ⊥ →ＤＣ， 所以｜→ＡＣ｜２＝｜→ＡＥ｜２＋｜→ＥＤ｜２＋｜→ＤＣ｜２＋２｜→ＡＥ｜· ｜→ＤＣ｜ｃｏｓ（π－θ）， 即１＝ ３４＋ １ ４＋１－２× 槡３ ２×１×ｃｏｓθ， 解得ｃｏｓθ＝槡３３． 故二面角Ａ－ＰＢ－Ｃ的平面角的余弦值为槡３３． 解法２：由解法１可知，向量→ＤＣ与→ＥＡ的夹角的大小 就是平面ＰＡＢ与平面ＰＢＣ夹角的大小，如图５，建立空间 直角坐标系 Ｃｘｙｚ，则 Ａ（１，０，０），Ｂ（０，槡２，０），Ｃ（０，０，０）， Ｐ（１，０，１）． 因为Ｄ为ＰＢ的中点，所以 (Ｄ １２，槡２２，１ )２ ． 因为 ＰＥ ＥＢ＝ ＡＰ２ ＡＢ２ ＝ １３，即 →