第4章 图形的相似（9个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第4章 图形的相似（9个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 一、成比例线段的概念 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【例1】（2023上·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 ． 二、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【例2】（2023上·安徽合肥·九年级统考期中）如果，那么 ． 【变式1】（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）已知，且，求的值． 三、黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【例3】（2023上·陕西西安·九年级西安市西光中学校考期中）点C是线段的黄金分割点，，则 四、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 【例4】（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，，，，那么的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．10 五、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【例5】（2022上·广东广州·九年级统考期末）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（    ）． A． B． C．50 D．30 六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可． 【例6】（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ）    A．6 B．2 C．1 D． 七、相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【例7】（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，若BE=4，CE=2，求CD：BF； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，猜想∠BEC与∠A的数量关系；并说明理由． （3）在（2）的条件下，若∠A=60°，试说明：BC=BF+CD． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界），连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE．连接CD，BE． （1）依据题意，补全图形； （2）求证：BE=CD． （3）延长CD交AB于F，交BE于G． ①求证：△ACF∽△GBF； ②连接BD，DE，当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BD的值． 八、 相