专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值， 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 例2．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________． 例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 例5．（2023·浙江·一模）问题提出： 如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　 △　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 例7．（2022·广东·广州市九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______． 课后专项训练 1．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 2．（2022·四川泸州·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 4．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    5．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是