4.2.2等差数列的前n项和第1课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 4 章 数 列 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点) 2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点) 1. 等差数列定义： an－an－1 ＝d (n∈N*，n≥2) 或 an+1－an ＝d (n∈N*). 2. 等差数列通项公式： (1) 通项公式：an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) (2) 公式变式：an＝am＋(n－m)d， (3)函数形式： an＝pn＋q (p、q是常数) 3. 等差中项： 4. 等差数列的中项性质： m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . m，n，p，q∈N* 情境1.高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时， 有一天老师在黑板上出一道题 “1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说： “你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？看谁算得又快又准确！”， 同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟， 高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和 其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 情境2.建筑工地上放着一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，100 . 你知道共有多少根圆木吗？ 问题归结：计算等差数列｛n｝的前100项之和：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100=？ 高斯算法： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100=？ (1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51) =101×50=5050 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以两两配对，分为50组： 第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，……，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 求解依据：等差数列{an}中，m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . m，n，p，q∈N* 首尾配对相加法 探索与发现：第1层到21层一共有多少根圆木？ 问题即：S21=1 + 2 + 3 + … + 21=？ 使用高斯的办法有何问题？如何使用高斯的方法解决此问题？ 方案1： S21=1 + 2+ 3 + … + 19+ 20+21 方案2： S21=1 + 2+ … +11+ … + 20+21 =10×22+11=231 方案3： S21=1 + 2 + … +11+ … + 20 + 21 S21=21 + 20+ … +11+ … + 2 + 1 2S21= (1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1) =21×22 =10×21+21=231 若用首尾配对相加法，n可能是奇数也可能是偶数，需要分类讨论.方案三很好的解决了分类讨论的繁琐性，具有一般意义。此法称为“倒序求和法”。 倒序求和法： 已知等差数列{an}的首项为a1，项数为n，第n项为an，求前n项和Sn. Sn = a1 + a2 + a3 +……+ an Sn = an + an-1 + an-2 +……+ a1 ① ② 2Sn = ( a1 + an) + ( a2 +an-1) + (a3+an-2) +……+ ( an+a1) = n( a1 + an) 即： 其几何意义为： 等差数列的前n项和的公式： （公式一） （公式二） =an2+bn （二次型） Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0) 特别的：对数列{n}： Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d] Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ] 两式相加得：2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an)+ (a1+an) =n (a1+an) 公式的其它推导方法： 方法二： 即： 方法三： Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d] =na1+[0+1+2+……+(n-1)]d 即： 特征.在等差数列 {an} 中，如果已知5个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 总可求出其余两个量 ? 等差数列的基本公式： 通项公式： 前n项和公式： 知 三 求 二