第20期 2.6弧长与扇形面积 2.7正多边形与圆(答案见22期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 １５．（１）ＤＥ＝ＢＤ，理 由：因为点 Ｅ是 △ＡＢＣ的 内 心， 所 以 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所 以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，所以 ) ) ＣＤ＝ＣＤ， 所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＣＡＤ ＝ ∠ＢＡＥ， 因为∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ ＋∠ＤＢＣ，∠ＤＥＢ＝∠ＡＢＥ ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＤＢＥ＝ ∠ＤＥＢ，所以ＤＥ＝ＤＢ． （２）△ＡＢＣ外接圆的 半径为槡２． １６．（１）证明：连接 ＯＣ，因为 ＯＤ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＤＥＣ＝９０°，所以 ∠Ｄ＋ ∠ＤＣＥ＝９０°，因为∠Ａ＝ ∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠ＤＣＥ＝ ９０°，因为 ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠Ａ＝∠ＡＣＯ，所以∠ＡＣＯ ＋∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ＯＣ ⊥ＣＤ，因为ＯＣ是⊙Ｏ的半 径，所以 ＣＤ是 ⊙Ｏ的切 线． （２）因为ＡＢ＝ＣＤ＝ 槡２５，所以 ＯＣ＝槡５，所以 ＯＤ ＝５．因为 Ｓ△ＣＯＤ ＝ １ ２ＯＣ·ＣＤ＝ １ ２ＯＤ·ＣＥ， 所以 ＣＥ＝ＯＣ·ＣＤＯＤ ＝２， 因为ＯＤ⊥ＡＣ，所以ＡＣ＝ ２ＣＥ＝４． １７．（１）△ＢＤＥ为等腰 直角三角形．证明：因为点 Ｅ是 △ＡＢＣ的内心，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＡＢＥ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＣＡＥ．因 为 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＣＡＥ， 所 以 ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＢＡＥ＝∠ＦＢＥ＋∠ＣＢＤ． 因为 ∠ＢＥＤ ＝∠ＡＢＥ＋ ∠ＢＡＥ，所 以 ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＦＢＥ＋∠ＣＢＤ，即∠ＢＥＤ ＝∠ＤＢＥ，所以ＤＢ＝ＤＥ． 因为 ＡＢ为直径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＢＤＥ 为等腰直角三角形． （２）连接 ＯＤ，因为 △ＢＤＥ为等腰直角三角 形，ＢＥ＝２，所以ＢＤ＝ＤＥ ＝槡２，因为⊙Ｏ的切线ＰＤ 交ＡＢ的延长线于点 Ｐ，所 以 ∠ＯＤＰ ＝９０°，因为 ∠ＡＰＤ＝３０°，所以∠ＰＯＤ ＝９０°－∠ＯＰＤ＝６０°，所 以∠ＰＡＤ＝ １２∠ＰＯＤ＝ 书 上期２版 ２．４过不共线三点作圆 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．１３２；　５．６＜ｒ＜８；　６．（２，１）；　７．槡２３． 能力提高　８．（１）图略，（－１，０）；点Ｄ在⊙Ｐ上； 点Ｅ在⊙Ｐ外． （２）点Ｆ的坐标为（槡５－１，０）或（－槡５－１，０）． ２．５．１直线与圆的位置关系；２．５．２圆的切线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．４或８； ５． 槡２ １３－４． ６．ＡＤ与⊙Ｏ相切，证明略． 能力提高　７．（１）证明：连接ＯＤ，因为△ＡＢＣ是等 边三角形，所以∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因为ＯＡ＝ ＯＤ，所以△ＯＡＤ是等边三角形，所以 ∠ＡＯＤ＝∠Ｂ＝ ６０°，所以ＯＤ∥ＢＣ，因为ＤＦ⊥ＢＣ，所以ＯＤ⊥ＤＦ，因为 ＯＤ为⊙Ｏ的半径，所以ＤＦ是⊙Ｏ的切线． （２）由（１）知ＡＤ＝ＯＡ＝ｒ，所以ＣＤ＝ａ－ｒ，因为 ∠Ｃ＝６０°，ＤＦ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＣＤＦ＝３０°，所以 ＣＦ＝ １ ２ＣＤ＝ １ ２（ａ－ｒ），所以ＢＦ＝ａ－ １ ２（ａ－ｒ）＝ １ ２（ａ ＋ｒ）．因为ＡＥ＝２ｒ，所以ＢＥ＝ａ－２ｒ．因为ＥＦ是⊙Ｏ的 切线，所以∠ＦＥＢ＝９０°，因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＦＥ＝ ３０°，所以ＢＥ＝１２ＢＦ，即ａ－２ｒ＝ １ ２× １ ２（ａ＋ｒ），解得 ｒ＝ １３ａ．因此，当ＥＦ是⊙Ｏ的切线时，⊙Ｏ的半径ｒ＝ １ ３ａ． ２．５．３切线长定理；２．５．４三角形的内切圆 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．１４； ５．（槡５２－５）． ６．ＣＥ的长为３． 能力提高　７．（１）证明：因为Ｉ是△ＡＢＣ的内心，所 以 ＡＥ平分 ∠ＣＡＢ，ＢＩ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＡＢＩ＝∠ＣＢＩ．因为∠ＢＩＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＩ， ∠ＩＢＥ＝∠ＩＢＤ＋∠ＥＢＤ，又因为∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ∠ＢＩＥ＝∠ＥＢＩ，所以ＥＢ＝ＥＩ． （２）连接ＥＣ，过点Ｅ作ＥＭ⊥ＡＢ，ＥＮ⊥ＡＣ交ＡＣ的 延长线于点Ｎ，则ＥＭ＝ＥＮ．因为∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ，所以 ) ) ＢＥ＝ＣＥ，所以ＢＥ＝ＥＣ＝４．因为ＡＥ＝ＡＥ，ＥＭ＝ＥＮ， 所以△ＡＥＭ≌△ＡＥＮ，所以ＡＭ ＝ＡＮ．因为ＢＥ＝ＥＣ， ＥＭ＝ＥＮ，所以△ＢＭＥ≌△ＣＮＥ（ＨＬ），所以ＢＭ＝ＣＮ． 设ＢＭ ＝ｘ，则８－ｘ＝６＋ｘ，解得ｘ＝１，即ＢＭ＝１，所 以ＡＭ＝７．又因为ＢＥ＝４，由勾股定理得，ＥＭ＝槡１５， 所以ＡＥ＝８，因为ＥＩ＝ＢＥ＝４，所以ＡＩ＝ＡＥ－ＥＩ＝４． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ 二、９．３２；　１０．５５°；　１１．槡１０；　１２．（ ５ ２，－ １ ２）； １３．６＋槡６１． 三、１４．（１）证明略． （２）⊙Ｏ的半径为２５８． 书 求与圆有关的阴影部分的面积这类题目在各地考 试题中时常出现，所给阴影部分的图形一般是不规则