第20期 27.3位似 第二十七章 相似 整章复习-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为ｋ，那么 原图上点（ｘ，ｙ）的对应点的坐标为（ｋｘ，ｋｙ）或（－ｋｘ， －ｋｙ）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分 发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用． 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 例１　（２０２２重庆沙坪坝区 三模）如图１，在平面直角坐标 系中，五边形 ＡＢＣＤＥ与五边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′为位似图形，位似中 心是原点，点Ａ的坐标为（１，２）， ３ＯＡ＝ＯＡ′，则点 Ａ′的坐标为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：由题意可知五边形 ＡＢＣＤＥ与五边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′的相似比为１∶３． 因为Ａ（１，２），所以点Ａ′的坐标为（３，６）． 故填（３，６）． 点评：此题主要考查了位似变换的性质，掌握关于 原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的 关键． 二、位似中心非原点，求图形上点的坐标 例２　（２０２３丹东期中）如图 ２，△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ两个顶点在 ｘ轴 的上方，点Ｃ的坐标是（－１，０）．以 点Ｃ为位似中心，在ｘ轴的下方作 △ＡＢＣ的位似图形，并把△ＡＢＣ的 边长放大到原来的２倍，记所得的 图形是△Ａ′Ｂ′Ｃ．设点Ｂ的对应点Ｂ′的坐标是（ａ，ｂ），则 点Ｂ的坐标是 ． 解析：过点Ｂ作ＢＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，过点Ｂ′作Ｂ′Ｎ⊥ ｘ轴于点Ｎ，则△ＣＢＭ∽△ＣＢ′Ｎ， 所以 ＭＣ ＮＣ＝ ＢＭ Ｂ′Ｎ＝ ＢＣ Ｂ′Ｃ． 又由已知条件知ＮＣ＝ａ＋１，Ｂ′Ｎ＝－ｂ，ＢＣＢ′Ｃ＝ １ ２， 所以 ＭＣ ａ＋１＝ ＢＭ （－ｂ）＝ １ ２， 所以ＭＣ＝ １２（ａ＋１），ＢＭ ＝－ ｂ ２， 所以ＭＯ＝ １２（ａ＋１）＋１＝ ａ＋３ ２ ． 所以点Ｂ的坐标为（－ａ＋３２ ，－ ｂ ２）． 故填（－ａ＋３２ ，－ ｂ ２）． 点评：本题考查的是位似变换，坐标与图形的性质， 掌握相似三角形的性质是解题的关键． 三、求位似中心的坐标 例３　（２０２３银川月考）如图３，已知矩形 ＡＢＣＤ与 矩形ＥＦＧＯ是位似图形，点Ｐ是位似中心，若点Ｂ，Ｆ的坐 标分别为（４，３），（－２，１），则点Ｐ的坐标为 ． 解析：因为点Ｂ，Ｆ的坐标分 别为（４，３），（－２，１）， 所以ＥＦ＝２，ＡＢ＝４，ＡＥ＝ ３－１＝２． 因为矩形 ＡＢＣＤ与矩形 ＥＦＧＯ是位似图形， 所以ＥＦ∥ＡＢ，所以△ＥＰＦ∽△ＡＰＢ， 所以 ＥＰ ＡＰ＝ ＥＦ ＡＢ，即 ＥＰ ２－ＥＰ＝ ２ ４，解得ＥＰ＝ ２ ３， 所以ＯＰ＝１＋２３ ＝ ５ ３， 则点Ｐ的坐标为（０，５３）． 故填（０，５３）． 点评：本题考查的是位似图形的性质，相似三角形 的性质，根据相似三角形的性质求出ＰＥ是解题的关键． 书 探究发现：（２０２２高邮期末）如 图 １，将 △ＡＢＣ绕点 Ａ旋转至 △ＡＢ′Ｃ′的位置，点 Ｂ′恰好在 ＢＣ 上，ＡＣ与Ｂ′Ｃ′交于点 Ｅ，连接 ＣＣ′． 求证：ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′·ＥＣ′． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′·ＥＣ′，只需 证明 ＥＣ ＥＣ′＝ ＥＢ′ ＥＡ，而相似三角形的对应边成比例，所以只 需证明由这四条线段所确定的两个三角形相似即可．由 线段ＥＣ，ＥＢ′确定的三角形是 △ＣＥＢ′，由线段 ＥＡ，ＥＣ′ 确定的三角形是 △Ｃ′ＥＡ，根据题意和图形可知这两个 三角形已有两组对应角相等，于是问题得证（同学们自 己完成证明过程）． 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称之为“三 点定形法”，一般步骤是：（１）把等积式转化为比例式； （２）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角 形；（３）找出使这两个三角形相似的条件． 若在步骤（２）中，发现四条线段不在两个三角形 中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括 等比替换、等线段替换、等积替换等． 变式探究 一、等比替换 例１　（２０２２洪江期中）如图２，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＣ与ＢＤ相交于Ｏ点，过点Ｂ作ＢＥ∥ＣＤ交ＣＡ的 延长线于点Ｅ．求证：ＯＣ２ ＝ＯＡ·ＯＥ． 证明：因为ＣＤ∥ＢＥ， 所以∠ＯＣＤ＝∠Ｅ，∠ＯＤＣ ＝∠ＯＢＥ， 所以△ＯＣＤ∽△ＯＥＢ， 所以 ＯＤ ＯＢ＝ ＯＣ ＯＥ． 又因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＯＡＤ＝∠ＯＣＢ，∠ＯＤＡ＝∠ＯＢＣ， 所以△ＯＡＤ∽△ＯＣＢ， 所以 ＯＤ ＯＢ＝ ＯＡ ＯＣ， 所以 ＯＣ ＯＥ＝ ＯＡ ＯＣ， 即ＯＣ２ ＝ＯＡ·ＯＥ． 二、等线段替换 例２　如图３，在等腰三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，ＣＧ∥ＡＢ，连接ＢＧ分别交ＡＤ， ＡＣ于点 Ｅ，Ｆ．求证：ＢＥ２ ＝ＥＦ· ＥＧ． 证明：如图３，连接ＣＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，ＡＤ垂直平分ＢＣ， 所以ＢＥ＝ＣＥ， 所