第19期 27.2.1相似三角形的判定(2)-27.2.3相似三角形应用举例-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 上期２版 ２７．１图形的相似 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．２；　４．１４． 能力提高　５．（１）证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所以∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＢ． 因为ＥＦ∥ＡＢ，所以四边形ＡＢＥＦ是平行四边形．因为ＡＥ 平分 ∠ＢＡＤ，所以 ∠ＦＡＥ ＝∠ＢＡＥ，所以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＥＢ，所以 ＡＢ＝ＥＢ，所以四边形 ＡＢＥＦ是菱形，所以 ＢＦ平分∠ＡＢＣ． （２）ＢＣ＝３＋ 槡３５． ２７．２．１相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．９；　３．１４． ４．证明：因为Ｄ是△ＡＢＣ的边 ＡＢ的中点，所以 ＡＤ ＝ＤＢ．因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＡＦＦＣ＝ ＡＤ ＤＢ＝１，所以ＡＦ＝ＦＣ． 因为ＣＥ∥ＡＢ，所以ＥＦＦＤ＝ ＦＣ ＦＡ＝１，所以ＤＦ＝ＥＦ，即Ｆ是 ＤＥ的中点． 能力提高　５．ＦＧ＝ 槡４７１５． ２７．２．１相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．６；　４．②与⑤． 能力提高 　５．相似．因为ＡＢＢＤ ＝ ＢＣ ＢＥ＝ ＣＡ ＥＤ，所以 △ＡＢＣ∽△ＤＢＥ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ，所以∠ＡＢＣ－ ∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＥ－∠ＤＢＣ，即∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ．因为ＡＢＢＤ ＝ＢＣＢＥ，所以 ＡＢ ＢＣ＝ ＢＤ ＢＥ，所以△ＡＢＤ∽△ＣＢＥ． ２７．２．１相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．１２或２５３； ４．（１，４）或（３，４）． 能力提高　５．证明：（１）因为ＡＦ２ ＝ＦＧ·ＦＥ，所以 ＡＦ ＦＧ＝ ＥＦ ＡＦ．因为∠ＡＦＧ＝∠ＥＦＡ，所以△ＦＡＧ∽△ＦＥＡ， 所以∠ＦＡＧ＝∠Ｅ．因为ＡＥ∥ＢＣ，所以∠Ｅ＝∠ＥＢＣ， 所以∠ＥＢＣ＝∠ＦＡＧ． （２）因为ＣＡＣＢ＝ ＣＤ ＣＧ，∠ＤＣＧ＝∠ＡＣＢ，所以△ＣＤＧ∽ △ＣＡＢ，所以ＤＧＡＢ＝ ＣＧ ＣＢ．因为ＡＥ∥ＢＣ，所以 ＡＥ ＢＣ＝ ＡＧ ＧＣ，所 以 ＡＧ ＡＥ＝ ＧＣ ＢＣ，所以 ＤＧ ＡＢ＝ ＡＧ ＡＥ，所以ＤＧ·ＡＥ＝ＡＢ·ＡＧ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ 二、９．３４；　１０．ＡＢＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ； １１．１８；　１２．丁；　１３．８； １４．４３或 ２ ３． 三、１５．（１）ＤＥ＝６． （２）ＡＣ＝１５． （下转１，４版中缝） 书 类型１：已知条件涉及平行线 例１　（２０２２福州期末）如图 １，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ边上，ＤＥ∥ＡＣ，∠ＤＥＦ ＝∠Ａ．求证：△ＢＤＥ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＡＣ，所以 △ＢＤＥ∽△ＢＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠Ａ，因 为∠ＤＥＦ＝∠Ａ，所以∠ＢＤＥ＝∠ＤＥＦ，所以ＥＦ∥ＡＢ， 所以△ＥＦＣ∽△ＢＡＣ，所以△ＢＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利用 “平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似”来证明两个三角形相似． 类型２：已知条件只涉及边 例２　（２０２２兴平期中）如图 ２，在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点 Ｄ，Ｄ′分别是 ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′时，求证：△ＡＤＣ∽ △Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′， 所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用 方法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大 小顺序排列． 类型３：已知条件既有角又有边 例３　（２０２２福州鼓楼区模 拟）如图３，点Ｄ为△ＡＢＣ边ＡＢ 上一点，ＡＤ＝２，ＢＤ＝６，ＡＣ＝ ４．求证：△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ． 证明：因为ＡＤ＝２，ＢＤ＝６， 所以ＡＢ＝８．因为ＡＣ＝４，所以 ＡＤ ＡＣ＝ ２ ４ ＝ １ ２， ＡＣ ＡＢ＝ ４ ８ ＝ １ ２，所以 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ． 又因为∠Ａ＝∠Ａ，所以△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例 时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及角 例４　（２０２２晋江期末） 如图４，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ在 ＢＣ边上，点 Ｅ在 ＡＣ边上，当 ∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ时，求证： △ＡＥＤ∽△ＡＤＣ． 证明：因为∠ＡＤＢ＝∠ＤＥＣ，所以１８０°－∠ＡＤＢ＝ １８０°－∠ＤＥＣ，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＤ．因为 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＣＡＤ，所以△Ａ