5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 课时2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 挑战：求 的值，你有多少种解法？ 两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式： 复习回顾 由公式 出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 为基础来推导其他公式 ． 例如 ， 比较 与 ，并注意到 α ＋ β 与之间的联系 ： ＝，则由公式 ， 有 = + = 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C(α ＋ β ) ． = ． 问题探究 巧记口诀： c c s s 两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式： 符号相反 知识讲解 上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ (α ＋ β ) ， Ｃ (α － β ) 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin ( α + β )， sin( α - β ) 的公式吗 ？ ＝ （S(α+β)） ＝ （S(α-β)） 通过推导 ， 可以得到 ： 问题探究 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示，的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： T(α+β) T(αβ) 问题探究 和 （ 差 ） 角公式中， α ，β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 公式 Ｓ (α＋β ) ，Ｃ(α＋β ) ，Ｔ(α＋β ) 给出了任意角 α ，β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ． 类似地 ，Ｓ(α－ β ) ，Ｃ(α－ β ) ，Ｔ(α－ β )都叫做 差角公式 ． 问题探究 【例3】已知，，求的值 ． 解 ： 由 ，， 得 所以 = = - 于是有 )= 例题讲解 )= 7 由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有 ． 那么对于任意角α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明? 例题讲解 【例 4】利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ： （1）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ; （2） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （3） ; 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ． 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 例题讲解 （2）由公式 C（α +β ） ， 得 cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°) = cos90°= 0 （3） 由公式 T（α +β ）及， 得 = = = = 解 ：（1） 由公式 S（α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°= sin(72°－ 42°) = sin30°= 例题讲解 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 课堂总结 课堂总结 课堂总结 1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　) A．cos 100°　　　　　 B．sin 100° C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,2) 【解析】　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 2． 已知α是锐角，sin α＝eq \f(3,5)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于(　　) A．－eq \f(\r(2),10) B．eq \f(\r(2),10) C．－eq \f(\r(2),5) D．eq \f(\r(2),5) 【解析】　因为α是锐角，sin α＝eq \f(3,5)， 所以cos α＝eq \f(4,5)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \f