第19期 5.5确定二次函数的表达式-5.7二次函数的应用(答案见21期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ＋ ｃ（ａ≠０）与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ，与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＢＣ， ＯＡ＝１，对称轴为直线ｘ＝２，点Ｄ为此抛物线的顶点． （１）求抛物线的表达式； （２）抛物线上Ｃ，Ｄ两点之间的距离是 ； （３）点Ｅ是第一象限内抛物线上的动点，连接 ＢＥ 和ＣＥ，求△ＢＣＥ面积的最大值； （４）点Ｐ在抛物线对称轴上，平面内存在点 Ｑ，使 以点Ｂ，Ｃ，Ｐ，Ｑ为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Ｑ的坐标． １．（２０２２泸州）如图１，在边长为３的正方形ＡＢＣＤ 中，点Ｅ是边ＡＢ上的点，且ＢＥ＝２ＡＥ，过点Ｅ作ＤＥ的 垂线交正方形外角∠ＣＢＧ的平分线于点Ｆ，交边ＢＣ于 点Ｍ，连接ＤＦ交边ＢＣ于点Ｎ，则ＭＮ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２３ Ｂ． ５ ６ Ｃ． ６ ７ Ｄ．１ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝５，ｔａｎ∠ＡＢＣ＝２， 点Ｅ是边 ＡＣ上一点，将 △ＡＢＣ沿斜边 ＡＢ翻折得到 △ＡＢＤ，点Ｃ落在点Ｄ处，点Ｅ的对应点为Ｆ，点Ｇ是ＢＤ 上一点，若ＣＥ＝ＤＧ，且∠ＦＥＧ＝４５°，则ＥＧ的长度为 ． 书 【提示】 １．过点Ｆ作ＦＨ⊥ＢＧ于点Ｈ，作ＦＫ⊥ＢＣ于点Ｋ， 根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，易得 ＦＨ和ＦＫ的长，然后根据△ＢＥＭ∽△ＫＦＭ，△ＤＣＮ∽ △ＦＫＮ可以求得ＭＫ和ＮＫ的长，最后相加即可求得 ＭＮ的长． ２．过点Ｇ作ＧＭ⊥ＥＦ交ＡＤ于点Ｍ，交ＥＦ于点Ｎ， ＡＢ和ＥＦ交于点Ｏ，由题易得ＡＣ，ＡＢ的长，利用折叠和 平行线的性质，可证得∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＧＭ，设 ＣＥ＝ＤＦ＝ＤＧ＝ｘ，利用解直角三角形及勾股定理可 表示出ＭＤ，ＭＧ，ＭＦ的长；再由∠ＭＦＮ＝∠ＤＧＭ，可 证得ＭＮ＝２ＦＮ，ＡＯ＝２ＯＦ，从而可表示出ＯＦ，ＥＦ的 长；然后根据ＥＮ＋ＦＮ＝ＥＦ，建立关于ｘ的方程，解方 程求出ｘ的值，最后求出ＥＧ的长即可． 书 上期３版 一、１．Ｃ；　２．Ａ； ３．Ｃ；　４．Ａ；　５．Ｂ； ６．Ａ；　７．Ｃ；　８．Ｃ． 二、９．ｙ＝５０（１＋ｘ）２； １０．ｙ１ ＝ｙ２； １１．－１＜ｈ＜０； １２．ａ３ ＞ａ２ ＞ａ１； １３．１０；　１４．７＋槡１７２ ． 三、１５．函数图象略． 共同点：① 抛物线 的开口的大小相同；② 对称轴都是 ｙ轴；③ 顶 点到ｘ轴的距离相同； 不同点：① 开口方 向不同；②当ｘ＞０时， 函数ｙ＝ １４ｘ ２＋１随 ｘ 的增大而增大，函数 ｙ ＝－１４ｘ ２－１随 ｘ的增 大而减小． １６．（１）ｙ＝ｘ２－４ｘ ＋３． （２）０＜ｍ＜４． １７．（１）由题意，可 得抛物线的顶点坐标为 （ｍ，ｍ＋１），因为抛物 线的顶点坐标在第二象 限， 所 以 得 ｍ＜０， ｍ＋１＞０{ ，解得 －１ ＜ｍ＜０．故 ｍ的取值 范围为 －１＜ｍ＜０． （２）当ｍ＝－２时， 抛物线的表达式为ｙ＝ （ｘ＋２）２－１＝ｘ２＋４ｘ＋ ３，设抛物线与ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在点 Ｂ 左侧），与 ｙ轴交于点 Ｄ，令ｙ＝０，即ｘ２＋４ｘ＋ ３＝０，解得ｘ１＝－１，ｘ２ ＝－３．令ｘ＝０，得ｙ＝ ３， 所 以 Ａ（－３，０）， Ｂ（－１，０），Ｄ（０，３），所 书 上期２版 ５．３二次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．＜； ５．ｙ是ｘ的二次函数． 由题意，得（ｘ＋４）２ ＝ｙ＋４２， 整理，得ｙ＝ｘ２＋８ｘ， 故ｙ是ｘ的二次函数． ６．①当ａ－１＋１≠０且ｂ＋１＝２时，函数为二次 函数，解得ａ≠０，ｂ＝１； ②当ａ－１＝０时，函数为二次函数，解得ａ＝１，ｂ为 任意实数； ③ 当ｂ＋１＝１或ｂ＋１＝０时，函数为二次函数，解 得ｂ＝０或ｂ＝－１，ａ为任意实数． 综上所述，当ａ≠０，ｂ＝１或ａ＝１，ｂ为任意实数或 ａ为任意实数，ｂ＝０或 －１时，函数均为二次函数． 能力提高　７．（１）根据长方形的面积公式，得ｙ＝ （５－ｘ）（４－ｘ）＝ｘ２－９ｘ＋２０， 所以ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝ｘ２－９ｘ＋２０． （２）上述函数是二次函数． （３）自变量ｘ的取值范围是０＜ｘ＜４． ５．４二次函数的图象和性质（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．２；　５．２； ６．９２． ７．（１）把ｘ＝３，ｙ＝３代入ｙ＝ａｘ２中，解得ａ＝１３， 所以这个二次函数的表达式为ｙ＝ １３ｘ ２． 当ｘ＝－２时，ｙ＝ １３×（－２） ２ ＝ ４３． （２）因为在ｙ＝ １３ｘ ２中，ａ＝ １３ ＞０， 所以图象开口向上， 对称轴是直线ｘ＝０，顶点坐标是（０，０）． ５．４二次函数的图象和性质（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ； ４．答案不惟一，如ｍ＝２；　５．ｙ１ ＜ｙ２． ６．（１）向上，（２，－５）． （２）减小． （３）－５≤