4.3对数的概念与对数运算（两课时）课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3 对 数 4.3.1对数的概念 对数的发明 对数的主要作用是简化运算 对数的概念,首先是由苏格兰数学家纳皮尔提出的.那时候天文学是热门学科,可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费更多的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.经过20年潜心研究大数的计算技术,他终于发明了对数,并在1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数. 解下列方程 对数概念 一般地， 如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数 注意： ①对数的书写格式 当a>0,a≠1时，ax=N x=㏒aN a>0,a≠1; 真数N>0 ④㏒aN是一个整体，可看作求x一种记号 常用对数:以10为底,记作lg N.即log10 N记做lgN 自然对数:以无理数e=2.718 28…为底,记作ln N.即logeN记做lnN 对数与指数的关系 当a>0,a≠1时，ax=N x=㏒aN ※性质 0和负数没有对数，即N > 0； 1的对数等于0，即loga1=0； 底数的对数等于1，即logaa=1； ④对数恒等式 探究角度1　对数式与指数式的互化 [例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式. (2)logx64=-6; 即时训练1-1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (2)logx25=2; (3)log5x2=2; (2)由logx25=2,得x2=25.因为x>0,且x≠1,所以x=5. (3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5.因为52=25>0,(-5)2=25>0,所以x=5或x=-5. 探究角度2　对数的底数、真数概念的理解 [例2] 求下列各式中x的取值范围. (1)log(2x+1)(x+2); 即时训练2-1:求下列各式中x的取值范围: (1)log0.5(x-3); 解:(1)要使原式有意义,则x-3>0,故x的取值范围为(3,+∞). (2)log(x-1)(2-x). 探究点二 对数的性质 [例3] 求下列各式中的x的值. (1)log8[log7(log2x)]=0; 解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27. (2)log2[log3(log2x)]=1. 解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29. 即时训练3-1:求下列各式中x的值. (1)lg(ln x)=1; 解:(1)由lg(ln x)=1得ln x=10,所以x=e10. (2)lg(ln x)=0. 解:(2)由lg(ln x)=0得ln x=1,所以x=e. [例4] 求下列各式的值. 探究点三 对数恒等式及其应用 A.14 B.0 C.1 D.6 对数运算 ——对数的运算性质 对数的基本性质 （1）负数和零没有对数,即（N>0) 证明：①设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 对数的运算性质 1、证明: 1) 简易语言表达:“积的对数=对数的和” 证明：②设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 2、证明: 2) 简易语言表达:“商的对数=对数的差” 证明：设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 3、证明: 一个正数的n次方的对数=这个正数的对数n倍 对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： （2）loga(MN)=logaM+logaN （1）logaM n = n logaM (n∈R) 探究点一 对数运算法则 [例1] 计算: (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 探究点一 对数运算法则 [例1] 计算: 即时训练1-1:计算: (2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2; 解:(2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2 =lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 方法总结 (1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思