第18期 24.6正多边形与圆 24.7弧长与扇形面积-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（沪科安徽专版）

书 重点集训营 １．如图１，在平面直角坐标 系中，已知⊙Ｄ经过原点 Ｏ，与 ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，Ｂ 点坐标为（０，槡２３），ＯＣ与 ⊙Ｄ 交于点 Ｃ，∠ＯＣＡ＝３０°，则图 中阴影部分面积为 （结果保留根号和π）． ２．如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｂ为切点，ＯＡ与 ⊙Ｏ 交于点Ｃ，以点Ａ为圆心、以ＯＣ的长为半径作 ) ＥＦ，分别 交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ．若ＯＣ＝２，ＡＢ＝４，则图中阴影部 分的面积为 ． ３．如图３，点 Ａ，Ｂ，Ｃ是 ⊙Ｏ上的点，连接 ＡＢ，ＡＣ， ＢＣ，且∠ＡＣＢ＝１５°，过点Ｏ作ＯＤ∥ＡＢ交⊙Ｏ于点Ｄ， 连接ＡＤ，ＢＤ．已知⊙Ｏ的半径为２，则图中阴影部分的 面积为 ． ４．如图４，在边长为４的 正方形 ＡＢＣＤ中，以 ＡＢ为直 径的半圆交对角线 ＡＣ于点 Ｅ，以Ｃ为圆心、ＢＣ长为半径 画弧交 ＡＣ于点 Ｆ，则图中阴 影部分的面积是 ． 辅助线周周练 １．如图１，已知菱形ＯＡＢＣ的边ＯＡ在ｘ轴上，点Ｂ 的坐标为（８，４），点 Ｐ是对角线 ＯＢ上的一个动点，点 Ｄ（０，２）在ｙ轴上，当 ＣＰ＋ＤＰ最短时，点 Ｐ的坐标为 ． ２．如图２，点Ｐ为边长为２的正方形ＡＢＣＤ外一动 点，且ＰＡ⊥ＰＢ，连接ＡＣ，ＰＣ，则△ＰＡＣ的最大面积为 ． 【提示】 １．连接ＡＣ，ＡＤ，分别交ＯＢ于点Ｇ，Ｐ，作ＢＫ⊥ＯＡ 于点Ｋ．因为点Ａ与点Ｃ关于ＯＢ对称，所以当ＣＰ＋ ＤＰ最小时，ＣＰ＋ＤＰ＝ＡＤ，求出Ａ点坐标，再求出直 线ＯＢ，ＤＡ的表达式，列方程组求出交点坐标即为点 Ｐ的坐标． ２．依题意，作以ＡＢ为直径的 ⊙Ｏ交线段 ＡＣ于 点Ｅ，连接ＰＥ，ＯＥ，ＢＥ，可得△ＡＥＢ为等腰直角三角 形；因为Ｓ△ＰＡＣ ＝２Ｓ△ＰＡＥ，所以要使得 △ＡＰＣ的面积 最大，只需使得△ＡＰＥ面积最大即可，又因为 ＡＥ长 度为定值，只需使△ＡＰＥ中ＡＥ边上的高最大即可． 书 三、１５．（１）证明略． （２）∠ＡＢＦ的度数为 ３０°． １６．（１）证明略． （２）⊙Ｏ的半径为２５８． １７．（１）ＢＣ＝４． （２）证明：因为 ＯＣ＝ ＣＰ，ＢＣ＝ＯＣ，所以 ＢＣ＝ ＣＰ，所以∠ＣＢＰ＝∠ＣＰＢ． 因为 △ＯＢＣ是等边三角 形，所以 ∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ ＝６０°，所以∠ＣＢＰ＝３０°， 所以 ∠ＯＢＰ ＝∠ＣＢＰ＋ ∠ＯＢＣ＝９０°，所以 ＯＢ⊥ ＢＰ，因为点Ｂ在⊙Ｏ上，所 以ＰＢ是⊙Ｏ的切线． １８．（１）证明：连接 ＯＣ， 因为 ＯＤ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＤＥＣ＝９０°，所以 ∠Ｄ＋ ∠ＤＣＥ＝９０°，因为∠Ａ＝ ∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠ＤＣＥ＝ ９０°，因为 ＯＡ＝ＯＣ，所以 ∠Ａ＝∠ＡＣＯ，所以∠ＡＣＯ ＋∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ＯＣ ⊥ＣＤ，因为ＯＣ是⊙Ｏ的半 径，所以 ＣＤ是 ⊙Ｏ的切 线． （２）ＡＣ的长为４． １９．（１）△ＢＤＥ为等腰 直角三角形． 证明：因为点 Ｅ是 △ＡＢＣ 的 内 心， 所 以 ∠ＦＢＥ＝∠ＡＢＥ，∠ＢＡＥ＝ ∠ＣＡＥ，因 为 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＣＡＥ， 所 以 ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＢＡＥ＝∠ＦＢＥ＋∠ＣＢＤ， 因为 ∠ＢＥＤ ＝∠ＡＢＥ＋ ∠ＢＡＥ，所 以 ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＦＢＥ＋∠ＣＢＤ，即∠ＢＥＤ ＝∠ＤＢＥ，所以ＤＢ＝ＤＥ， 因为 ＡＢ为直径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，所以△ＢＤＥ 为等腰直角三角形． （２）连接 ＯＤ，因为 △ＢＤＥ为等腰直角三角 形，ＢＥ＝２，所以ＢＤ＝ＤＥ ＝槡２，因为⊙Ｏ的切线ＰＤ 交ＡＢ的延长线于点 Ｐ，所 以 ∠ＯＤＰ ＝９０°，因为 ∠ＡＰＤ＝３０°，所以∠ＰＯＤ ＝９０°－∠ＯＰＤ＝６０°，所 以∠ＰＡＤ＝ １２∠ＰＯＤ＝ ３０°，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ ＝９０°，∠ＰＡＤ ＝３０°，ＢＤ 书 上期２版 ２４．４直线与圆的位置关系（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．４或８； ５． 槡２ １３－４． ６．ＡＤ与⊙Ｏ相切，证明：连接ＡＯ并延长与ＢＣ交于点Ｅ，与 ⊙Ｏ交于点Ｆ，因为ＡＢ＝ＡＣ，所以 ) ) ＡＢ＝ＡＣ，所以 ) ) ＢＦ＝ＣＦ，所以 ＡＯ⊥ＢＣ，因为ＡＤ∥ＢＣ，所以ＯＡ⊥ＡＤ，因为ＯＡ为⊙Ｏ的半径， 所以ＡＤ与⊙Ｏ相切． 能力提高　７．（１）证明：连接ＯＤ，因为△ＡＢＣ是等边三角 形，所以∠ＢＡＣ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，因为ＯＡ＝ＯＤ，所以△ＯＡＤ 是等边三角形，所以∠ＡＯＤ＝∠Ｂ＝６０°，所以ＯＤ∥ＢＣ，因为 ＤＦ⊥ＢＣ，所以ＯＤ⊥ＤＦ，因为ＯＤ为 ⊙Ｏ的半径，所以 ＤＦ是 ⊙Ｏ的切线． （２）由（１）知ＡＤ＝ＯＡ＝ｒ，所以ＣＤ＝ａ－ｒ，因为∠Ｃ＝ ６０°，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＣＤＦ＝３０°，所以ＣＦ＝ １２ＣＤ＝ １ ２（ａ－ ｒ），所以ＢＦ＝ａ－１２（ａ－ｒ）＝ １ ２（ａ＋ｒ）．因为ＡＥ＝２ｒ，所以 ＢＥ＝ａ－２ｒ．因为ＥＦ是⊙Ｏ的切线，所以∠ＦＥ