4.4.3 不同函数增长的差异课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4 课时3 不同函数增长的差异 1 在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？ 问题探究 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 问题探究 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 问题探究 以函数 y=2x与 y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 ··· ··· ··· . . x y o 1 2 结论：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变， 但是y=2x的增长速度改变，先慢后快. 问题探究 指数函数、一次函数增长方式的差异 结论：指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0) 即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0， 当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 知识讲解 指数函数、一次函数增长方式的差异 知识讲解 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+∞)上的增长差异， 你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 问题探究 以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 ··· ··· ··· y=lgx 问题探究 如果将lgx放大1000倍，再对函数y=1000lgx和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 问题探究 对数函数、一次函数增长方式的差异 结论：虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢. 不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx. 知识讲解 1. 判断正误: (1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　) (2)当a>1,n>0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x，总有logax<xn<ax成立.(　　) (3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数模型.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√ 当堂检测 2. 已知三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表: 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2 解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C. 当堂检测 题型一 比较函数增长的差异 例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示. 设两函数的图象交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1<x2. (1)指出图中曲线C1，C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小. 当堂检测 解：（1）C1对应的函数为g(x)=x3，C2对应的函数为f(x)=2x. （2）因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 019>x2， 从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).