4.3.1等比数列的概念第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

（第一课时） 4.3 等比数列的概念 1.等差数列的定义： 3.等差数列的通项公式： 2.等差中项的定义： an=am+(n－m)d 如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项, 不完全归纳法、累加法 复习回顾 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列. 符号表示： an - an-1=d(n≥2,n∈N*)或 an+1 - an=d(n∈N*) 4.等差数列的函数特征： 图象是均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上的点： d＞0,等差数列单调增；d＜0,等差数列单调减； d＝0,等差数列为常函数. an=a1+(n－1)d=dn+(a1-d)， 5.等差数列的判定方法： ①定义法 ②中项法 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 1.《庄子·天下篇》中写道： “一尺之棰，日取之半，万世不竭” 情景导学 ... 一尺之棰 日取其半 第1天后 第2天后 第3天后 第4天后 如果把一尺之锤的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“锤”的长度依次是多少？ … 2. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 3.某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是 (复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息) a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 新知探究 观察前面得到的数列，看看他们有什么共同的特点？ （1） （2）9，92，93，...，910； （3）100，1002，1003，...，10010; （4）5，52，...，510 （5）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数. 共同特点: 1. 等比数列的定义 类比等差数列的概念，从上述几个数你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q ≠ 0 ) 。 咬文嚼字 符号表示： 追问1.等比数列的定义中，“q≠0”的原因是什么？ 结合等差数列的定义式，将等比数列的文字定义转化为数学符号语言。 追问2.如果一个数列是等比数列，它至少有几项？ (1) 1，3，9，27，81，… (3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… 是,公比 q=3 是,公比 q= x 是,公 比q= -1 (7) (2) 是,公比 q= 练习.观察并判断下列数列是否是等比数列,若是,指出公比. 是,公比 q=1 (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… 不是等比数列 不是等比数列 巩固练习 1.公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比,防止把 被除数与除数弄颠倒。 2.公比q可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0。当q>0，各项与首项同号；当q<0，各项符号正负相间。 3.等比数列中各项均不能为0,即an ≠ 0。 4.非零的常数列既是等差数列又是等比数列。 2. 等比中项 请同学们类比等差中项的推导过程，探究等比中项及其性质. 由三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 此时， (an)2=an-1.an+1 在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项. 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列： （1） 1， ， 9 （2）-1， ， -4 （3） -12， ，-3 （4）-1， ， 16 练一练 同号两数则有两个等比中项，它们互为相反数； 异号两数则没有等比中项. (n-1)个 式子 … … 方法二:(累加法) … … 方法一:(不完全归纳法) 等差数列的通项公式的具体推导过程和方法。 请同学们类比等差数列通项公式的推导方法，推导出等比数列的通项公式。 3. 等比通项公式 … … 方法一:不完全归纳法 1 1 - = n n q a a (n-1)个 式子 方法二:累乘法 验证 n=1 3. 等比通项公式 当q=1时，这是一个常数列， an