清单08 锐角三角函数（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

清单08 锐角三角函数（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 考点一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 【例1】（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【例2】（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算：． 【变式1】（2022·四川乐山·九年级期末）在中，若，，都是锐角，则是______三角形． 【变式2】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）计算： 考点三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 【例3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 【变式】（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，把一个量角器与一块30°（）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结CP．若BC＝4，则CP的长为（    ） A． B． C． D． 考点四、仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【例4】（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度． 【变式1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m） 【变式2】（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图： 聪聪的做法： 第一步：他在地面上B点处测得大树顶端的仰角为35°， 第二步：他继续向大树方向走8m到达D点时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，（已知A、E、M三点共线，聪聪的眼睛距地面的高度保持不变且为1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F，N在同一水平线上）． 第三步：计算出大树的高MN． 请你根据聪聪做法，计算出大树大概有多高？（结果精确到1m）． （参考数据：，，，） 考点五、坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 【例5】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是，继续沿着坡比为的斜坡BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D