第三章 函数的概念与性质导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 ——2023~2024学年高一数学人教A版(2019) 期末复习敲重点 学习目标整合 函数的概念及其表示 （1）建立完整的函数概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. （2）掌握分段函数的简单应用. 函数的基本性质 （1）理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. （2）掌握奇偶性和周期性的概念及其应用. 二次函数与幂函数 （1）理解并掌握二次函数的定义、图象和性质；会求二次函数在闭区间上的最值 （2）了解幂函数及其应用. 函数的应用 （1）会运用函数图象理解和研究函数的性质. （2）会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 思维导图回顾知识 重难知识易混易错 重难知识点 1.函数的单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间：如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 2.函数的最大（小）值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值. 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值. 3.幂函数的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 都经过点 4.几类常见的函数模型： （1）一次函数模型：. （2）反比例函数模型：. （3）二次函数模型：. （4）幂函数模型：(是常数). （5）分段函数模型：以上两种或多种模型的组合. 易混易错例题 1.已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意，得解得. 2.规定表示取a，b中的较大者，如，，则函数的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：当，即时，；当，即时，.所以显然在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.故选B. 3.（多选）函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( ) A. B. C.为偶函数 D.为奇函数 答案：BCD 解析：因为为奇函数，为偶函数，所以的图像关于点对称，同时关于直线对称，所以，A错误；，，B正确；，即函数为周期函数，周期为4，所以，即函数为偶函数，C正确；，所以函数为奇函数，D正确.故选BCD. 4.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________平方米. 答案：80 解析：设李明家的建筑面积为x平方米，按照方案（1），李明家需缴纳供暖费（元）；按照方案（2），李明家需缴纳供暖费3x元.因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，所以，解得.所以他家的建筑面积最多不超过80平方米. 5.已知是奇函数，当时，，则_________. 答案：-4 解析：因为是奇函数，当时，，所以，解得.所以，.因为是奇函数，所以. 核心素养对接高考 考情分析 本部分内容在高考试题中考查内容丰富，主要考查函数的基本性质，分段函数，函数的图象及其应用等，函数单调性常作为工具使用，函数与方程思想，数形结合思想也是高考的热点，试题命题角度变化很多，但注重基础. 情境真题应用 1.【2023年新课标Ⅰ卷】设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：法一：由题意得在区间单调递减，所以，解得.故选D. 法二：取，则在单调递减，所以在单调递减，所以符合题意，排除A，B，C，故选D. 2.为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 单价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民在实行“阶梯水价”的第一个月需缴纳的水费为90元，则此户居民该月的用水量为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：设用水量为，需缴纳的水费为y元，则整理得当时，；当时，；当时，.因为此户居民该月需缴纳的水费为90元，所以用水量大于，令，得. 3.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，则用表示不超过x的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：BC 解析：法一：，因为，所以