5.5三角恒等变换6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

5.5三角恒等变换6题型分类 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦 公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tanαtanβ≠1 两角差的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanαtanβ≠－1 二、两角和与差的余弦公式的灵活运用 要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式． (1)顺用公式，如： cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)； cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ； cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (2)逆用公式，如： cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α. (3)变用公式，如： cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ； cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ. 三、两角和与差的正切公式的灵活运用 (1)正切公式的逆用 ＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ； ＝＝tan. (2)正切公式的变形应用 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)； 1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝. 四、二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ 五、二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 六、“二倍”的含义 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 七、万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. （一） 直接利用公式求值 (1)在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式． (2)两角差的余弦公式常见题型及解法: ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解; ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解; ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)特殊角:0°,30,45° ,60°... (4)公式的运用有三种: ①正用;②逆用;③变形用，都要熟练. 题型1：直接利用公式求值 1-1．（2023下·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023下·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023下·甘肃兰州·高一统考期中）等于（    ） A． B． C． D． 1-4．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）（    ） A．1 B． C．3 D． （二） 给值求值 1、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．　 题型2：给值求值 2-1．（2023下·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023下·山东日照·高一统考期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则