专题1-8 诱导公式,恒等变换17类·综合次压轴题型汇总-2023-2024学年高一数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019必修第一册）

专题1-8 诱导公式,恒等变换17类·综合次压轴题型汇总 今年新高考的1卷和2卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1卷是第8题，2卷是第7题，可以看出来三角恒等变换在新高考选填中有题序后移的趋势，预估试卷中会出现更多的三角恒等变换的中档题 近3年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新高考二卷，第7题,5分 已知二倍角余弦值，求角的正弦值 二重根式化简 二倍角公式 2023年新高考I卷，第8题,5分 根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答 和差公式+二倍角公式 有和差化积的背景 2022年新高考II卷，第6题,5分 由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系 和差公式 2021年新高考I卷，第6题,5分 根据的值，对齐次式化简，结合二倍角的平方式 正余弦齐次式计算 二倍角公式 知识点梳理 【题型1】诱导公式：角的配凑 【题型2】辅助角公式 和差公式 【题型3】角的拆分与配凑（不拆括号） 【题型4】与坐标系中的象限角结合 【题型5】不拆角，整体法或换元 【题型6】统一角度化简 【题型7】拆括号化简 【题型8】和差公式的逆用 二倍角公式 【题型9】二倍角的配凑，与诱导公式结合 【题型10】扩角降幂 【题型11】与平方公式结合 【题型12】化为一元二次方程或二次函数 【题型13】化为半角（缩角升幂） 【题型14】和差公式与二倍角公式结合 【题型15】已知tan求齐次式与由齐次式求tan 【题型16】通过诱导公式化为同名函数 【题型17】和差化积与积化和差 知识点梳理 【和差公式】 ①； ②； ③； 要注意的是： 【二倍角公式 】 要注意的是有3种表达形式，要结合题目其他式子，选择出合适的那一个 【二倍角公式变形】 完全平方式： 扩角降幂：（可用二倍角公式推导） 【辅助角公式】 ，其中，且与在同一象限 解题策略： 1、若题目中出现了角的和差结构比如，一般不拆括号，先尝试进行配凑 2、对于这类式子，若和在同一象限，则有； 若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有， 若是在三，四象限，则有，所以不能直接去掉sin，要先看和之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到. 3、对于可以考虑引入特殊角30°，变为，到达统一角度的目的 4、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限 如：已知, 分析：，则，而， 故 5、统一函数名：，具体是选还是要看题目给出的范围 6、角的配凑：对于一个题目的条件中出现了多个带括号的角，可以考虑进行换元，优化式子结构 7、角的拆分：①，②，③ ④，⑤，注意 特殊的角也看成已知角， 【拓展1：和差化积】下述公式，等式左边是三角函数和或者差的形式，等式右边是乘积的形式，因此被称为“和差化积”公式 和差化积公式助记口诀 正加正，正在前； 正减正，余在前； 余加余，余并肩； 余减余，负正弦。 【拓展2：积化和差】下述公式，等式左边是三角函数乘积的形式，等式右边是和或者差的形式，因此被称为“积化和差”公式 积化和差公式助记口诀1 正余余正，正加正减； 余余正正，余加负余减。 积化和差公式助记口诀2 正弦相加正在前， 正弦相减余提前， 余弦相加无正弦， 余弦相减负正弦 和差化积的应用：以2023年新高考I卷第8题为例 已知，则 简析：由和差化积，可得， 【题型1】诱导公式：角的配凑 1． 已知，α是第二象限角，的值为________． 2． 已知，则（    ） A． B． C． D． 3． 若，则__________． 4． 若，则________． 5． 若，则__________． 6． 若，则__________． 7． 若是第二象限角，且，则__________． 8． 若，则 . 9． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 10． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 11． 已知，则的值为　　 A． B． C． D． 【题型2】辅助角公式 12． 已知.则 . A． B． C． D． 13． ，则（    ） A． B． C． D． 14． ，则（    ） A． B． C． D． 和差公式 【题型3】角的拆分与配凑（不拆括号） 15． （2023·深圳中学阶段考）已知，则（    ） A． B． C． D． 16． 若都是锐角，且，，则 . 17． 已知，且，则=________ 18． 已知角，均在内，，，则角的值为（    ） A． B． C． D． 19． （2024届·雅礼中学月考（三））已知，，则 A．4 B．6 C． D． 20