清单07 相似（11个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

清单07 相似（11个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 知识点一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 【例1】（2022·辽宁铁岭·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个平行四边形 知识点二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 4）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【例2】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（  ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝5，则DF＝（　　） A．5 B．10 C．15 D．2.5 【变式】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（    ） A．： B．： C．： D．： 知识点四、相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 【例4】（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形四边形，，，，则∠D的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式】（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2 【变式2】（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________． 【变式3】（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． (1)求点F的坐标； (2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 知识点五、相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 【例5】下列说法一定正确的是（ ） （A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 （B）对应角相等的两个三角形不一定相似 （C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 知识点六、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形