4.4数学归纳法 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 四 章 数 列 4.4 数学归纳法     延时符 授课人： 日期：2023年12月6日 1 学习目标  了解数学归纳法的基本思想和原理  如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，掌握数学归纳法的基本步骤  数学抽象、数学运算、逻辑推理 2 新知导入 3 等差数列的首项为，公差为. 那么 ， …… 归纳可得 如果是一个等差数列，怎样得到 ？ 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确. 那么，对于这类与正整数有关的命题，怎样证明它对每一个正整数 都成立呢 ？本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法. 3 新课知识 4 计算可得 由此猜想： 如何证明这个猜想呢？ 当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦. 探 究 已知数列满足 ，，计算猜想其通项公式，并证明你的猜想. 分析： 思路1：我们可以从=5开始一个个往下验证. 研究通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数时命题都成立. 阅读教材44页多米诺骨牌游戏，了解游戏的数学模型. 4 新课知识 5 多米诺骨牌游戏 思考1：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 思考2：你认为条件（2）的作用是什么？ 条件（2）实际上是给出了一个递推关系： 第块倒下 第块倒下. 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 5 新课知识 6 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当取第一个值0(例如0=1) 时命题成立; (2)假设当=()时命题成立， 证明当=时命题也成立. 结合(1)(2)，可归纳得对于任意正整数命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 6 例题精讲 7 【例1】 用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么 ① 对任何 都成立. 第一步 应证明时命题成立. 第二步 如果时①式是正确的， 证明: （1）当=1时，左边=， 右边= , ①式成立. （2）假设= 时，①式成立，即 ， 根据等差数列的定义，有 , 于是 即当+1时①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 那么时①式也是正确的. 7 例题精讲 8 【例2】 用数学归纳法证明： ② 证明：（1）当时，②式的左边=， 右边 ，所以②式成立. （2）假设当时，②式成立， 即 ， 在上式两边同时加上，有 第一步 证明时命题成立. 第二步 如果时②式是正确的，那么时②式也是正确的. 8 例题精讲 9 【例2】 用数学归纳法证明： ② 即当时，②式也成立. 由（1）（2）可知，②式对任何都成立. 时形式和时相同. 9 例题精讲 【例3】已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 10 【解】由 可得 ＝，＝，猜＝， （1）当时 ， 。 ①式左边＝0 ， 右边＝＝0，猜想成立. 那么＝＝ ＝＝， 即当时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. ①式成立，即=， （2）假设当时， 10 课堂练习 11 11 课堂小结 12 两个步骤、一个结论 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 数学思想方法： 递推思想、类比思想、归纳转化思想 归纳奠基：证明当时命题成立； 归纳递推：以“当时命题成立”为条件， 推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 12 本课作业 必做 二 必做 一 必做 三 教材 51 页 习题4.4 2~4 教材 52页 5，8 2 01 02 03 13 微信： 手机： 感谢您的观看 授课人：梅河口市朝鲜族中学 14 $$