14.2.1 平方差公式 课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 1 学习导航 学习目标 新课导入 概念剖析 典型例题 当堂检测 课堂总结 2.能够灵活运用平方差公式进行计算. 1.通过探索平方差公式的计算规律，理解平方差公式；(重点) 一、学习目标 二、新课导入 回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式 的 ，再把所得的积相加. 可用字母表示为：(a+b)(p+q)= . ap+aq+bp+bq 每一项 每一项 二、新课导入 某学校对操场进行改造，原来的操场是长方形，改建后为正方形； 正方形的边长比原来长方形的长少6米，比原来长方形的宽多6米. 你们猜，现在的操场面积比原来大了还是小了？ 三、概念剖析 之前我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则． 根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (x+1)(x-1) = . (m+2)(m-2) = . (2x+1)(2x-1) = . x2-1 m2-4 4x2-1 上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘. 三、概念剖析 由于 (a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 =a2-b2 抵消 所以，对于这种形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a+b)(a-b)=a2-b2 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫做(乘法的)平方差公式. 平分差公式属于多项式乘法计算，它是(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形. 三、概念剖析 思考：你能根据右边图形的面积 说明平方差公式吗？ 3 4 1 2 a a b b b 图形1+3的面积为大正形的面积减去小正方形的面积：a2-b2； 图形2和图形3的面积均为(a-b)b，故图形2的面积等于图形3的面积； 因此图形1+2的面积和图形1+3的面积相等，为：a2-b2； 把图形1+2当作一个大长方形，用长乘宽计算它的面积为：(a+b)(a-b)； 所以(a+b)(a-b)=a2-b2. 例1. 运用平方差公式计算. (1)(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y) 四、典型例题 解：(1)原式= (3x)2-22 =9x2-4 总结：先和计算公式对照，分清楚哪部分是a，哪部分是b. (2)原式= (-x)2-(2y)2 分析：我们已经知道平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，在(1)中，把3x看作a， 2看成b；在(2)中把-x看作a，2y看作b. =x2-4y2 例2. 运用平方差公式计算. (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2)(a+2b)(a-2b)-(a+b)(a+3b) 四、典型例题 解：(1)原式=y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1 总结：1.只有符合公式条件的乘法才能用公式简化运算； 2.注意结果化成最简形式. (2)原式=a2-(2b)2-(a2+4ab+3b2) =a2-4b2-a2-4ab-3b2 =-7b2-4ab 【当堂检测】 1.判断下列利用平方差公式运算的过程是否正确. (1)(x+2)(x-2)=x2-2； (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4； 解：(1)错误，实际上答案应为x2-22=x2-4， 解释：这里需要注意直接由平方差公式得出结果时，不要忘记a和b在 结果中都是平方形式出现. (2)错误，实际上答案应为4-9a2， 解释：将(-3a-2)(3a-2)化成-(3a+2)(3a-2)的形式，最后直接得出结果时忘记考虑前面的负号；其实该题也可将式子看成(-2+3a)(-2-3a). 2.运用平方差公式计算 【当堂检测】 （2）(x+2y)(x-2y) （4）(2x+y)(2x-y)-(4x+y)(x-y) （1）（a+2）(a-2) （3）(-a-3)(3-a) 解： (1)原式=a2-22=a2-4 (2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2 (3)原式=(-a+3)(-a-3)=(-a)2-32=a2-9 (4)原式=4x2-y2-(4x2-3xy-y2)=3xy 提示：像(3)中不管它怎样变换位置，我们只需根据平方差公式中a的 符号相同，b的符号相反便可转化成熟悉的形式. 四、典型例题 例3.运用平方差公式简化运算. (1)101×99