专题10 圆锥曲线的综合问题-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线中的求值与证明问题 1．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）. 2．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程． 3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 4．（2023上·福建南平·高二统考期末）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，． (1)求双曲线C的离心率e； (2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值． 5．（2023上·河南商丘·高二校联考期末）已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于. 6．（2023上·山西阳泉·高二统考期末）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点. 7．（2023上·安徽黄山·高二统考期末）设过抛物线对称轴上的定点，作直线与抛物线交于两点，且，相应于点的直线称为抛物线的“类准线”. (1)若，求的值； (2)若点是“类准线”上任意一点，设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为，求证：. 8．（2023上·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是． (1)求b的值，并证明：； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求． 圆锥曲线中的最值与范围问题 9．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，O为坐标原点，则当最小时，（    ） A． B． C． D． 11．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N． (1)求证：； (2)设，当时，求三角形面积S的最小值． 14．（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知直线分别经过椭圆左顶点和上顶点，，是椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率． (1)求实数和椭圆方程； (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 15．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 16．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围． 圆锥曲线中的定值与定点问题 17．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 18．（2023上·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）已知抛物线，在直线上任取一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 . 19．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线P