数列通项的求法总结讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项的求法总结 一、累加法与累乘法 【温故知新】 1、累加法：满足，则，从而可以使用累加法求通项。 即： 2、累乘法：满足，则，从而可以使用累乘法求通项。 即： 【例1】（1）已知数列满足，，则= ； 答案：，可得。累加可得 （2） 已知数列满足，，则= 。 数列满足，有 ==。当时也成立。解得。 【变式训练】（1）设数列满足，，则= ； 观察到是等比数列的形式，可以累加。累加得到，解得， （2）已知数列各项都是正数，，，则= 。 观察到递推关系式满足因式分解的结构。则且各项都是正数，有。将，。原式变形为，再累加可得， 【进阶考法】 构造“常数数列” 【例2】已知数列满足，，则= 。 由于不可裂项累加，但观察到将两边同时乘上，得到，即可得到，令，则，得到 构造“常数数列”： 【变式训练1】已知数列满足，，则= 。 与上题同理，同乘得，令，有，，，解得 【变式训练2】已知数列满足，，则= 。 当且系数为时，可以采用两边同除的方式，即两边同除，得到，令。则解得 【变式训练3】已知数列满足，，则= 。 可以将此题看成前两题的综合，分两步进行。 首先将，则原等式：。 再两边同除以，得到，令。得到为等差数列，，。则，则。 构造“常数数列”本质：看下标，找对应 【例3】已知数列满足，，则= 。 观察到此时等式两边下标并不对应，反而相反，可以想到将系数转移，即，得到同构，易得 【变式训练1】已知数列满足，，则= 。 由于与下标相差，而与相差，则不能直接运算，但我们仍然可以将移项得到，发现累乘。，得到 【变式训练2】已知数列满足，，则= 。 将两边同乘，则此时得到同构，令，。得到 ，。解得 【变式训练3】已知数列满足，，则= 。 此时若将两边同乘，得到，则两边并不同构，所以再将系数转移：，解得 【变式训练4】已知数列满足，，则= 。 将两边同除，此时可以裂项累加。令，则，有，解得 二、待定系数法 【温故知新】 已知，求通项 我们容易发现与的系数之比为，如果直接用前面介绍过的累加法求得；如果，我们可以用待定系数法构造等比：，展开对比，求得，则数列是一个等比数列，通过求来求！ 【例4】已知数列满足，，则= 。 的系数，利用待定系数法，构造后的新数列公比为2，则可令，整理解得，有 【变式训练1】已知数列满足，，则= 。 令，，解得，有，此时为等比数列， 【变式训练2】已知数列满足，，则= 。 当系数为时，我们需要将2除到另一边，得到，结构就和之前碰到的一样了。令则为等比，同理可解得 【进阶考法】 【例5】已知数列满足，，则= 。 此时我们观察到关系式中出现的并不为常数，本质相同，即关系式不满足为等比，但我们可以构造新的数列，使得关系式满足为等比数列，但要注意当中出现与有关，则需要与和的下标一一对应，即满足同构化的原则。新数列公比仍为系数，所以令，整理得，则解得，所以为等比数列，即 对于 我们的方法是去构造新的等比数列来求解通项，但此时我们发现出现的是的形式，所以构造的时候要在后要加一个一次函数的形式，再求解即可！ 【变式训练】已知数列满足，，则= 。 与上题同理，令，整理得，解得，则为等比数列。公比，首项。， 【例6】已知在数列中，，，则= 。 同理，出现我们就需要待定二次的参数关系式，即，整理得，解得，为首项，公比的等比数列，则解得 对于 我们的方法是去构造新的等比数列来求通项，但此时我们发现出现的是的形式，所以构造时，要在后要加一个二次函数的形式，再求解即可！ 【变式训练】已知在数列中，，，则= 。 令，整理得，解得，故为首项，公比的等比数列，则解得 【例7】已知在数列中，，，则= 。 这里有两种处理方式。 I):两边同除，得到为的形式，令，，有，则 II):两边同除，得到，为的形式，则，解得 对于 我们的处理方法有三种： ①两边同时除以，再累加求通项； ②两边同时除以得：，就可以转化成形式处理 ③由于的系数之比是，所以构造等比数列. 若，则只能用方法①②处理 【变式训练】已知在数列中，，，则= 。 两边同除，得到，令，则，解得 三、消元法 【温故知新】 已知求的一般步骤： （1）先利用求出； （2）