26.2　实际问题与反比例函数 教案 2023-2024学年 人教版数学九年级下册

26.2　实际问题与反比例函数 教学目标： 1.掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题. 2.经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力. 3.运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中,感受数学的应用价值,提高学习兴趣. 教学重难点： 重点:掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.并能从函数的观点来解决一些实际问题. 难点:经历“实际问题—建立模型—问题解决”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力. 教学过程： 导入 复习回顾,反比例函数的性质 当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大. 双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近x轴、y轴. 反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形;对称中心是原点,有两条对称轴. 讲授新课 知识点1　实际问题与反比例函数 1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深? (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为 15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)? 解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104, 所以S关于d的函数解析式为S=. (2)把S=500代入S=,得500=, 解得d=20(m). 所以如果把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应向地下掘进20 m深. (3)把d=15代入S=,得S= , 解得S≈666.67(m2). 所以当储存室的深度为15 m时,底面积应改为666.67 m2. 范例应用 例1　如果某蓄水池的进水管每小时进水8 m3,那么6 h可将空水池蓄满水. (1)求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式; (2)如果准备在5 h内将空水池蓄满水,那么每小时的进水量至少为多少? 解:(1)由题意可得y= =, 即将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数解析式是y= . (2)当y=5时,5=,解得x=9.6(m3). 即每小时进水量至少为9.6 m3. 2.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度 v(单位:吨/天) 与卸货天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨? 解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件,得k=30×8=240. 所以v关于t的函数解析式为v= . (2)把t=5代入v= ,得v==48(吨/天). 从结果可以看出,如果全部货物恰好用5天卸载完,则平均每天卸载48吨.对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完毕,则平均每天至少要卸载48吨. [方法总结] 在解决反比例函数相关的实际问题中,若题目要求“至多”“至少”,可以利用反比例函数的增减性来解答. 范例应用 例2　一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 70 km/h 的平均速度用6 h到达目的地. (1)甲、乙两地相距多少千米? (2)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系? (3)如果该司机必须在5 h内回到甲地,则返程时的平均速度不能低于多少? (4)已知汽车的平均速度最大可达 120 km/h,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 解:(1)70×6=420(km). (2)v= . (3)将t=5代入,得v==84(km/h),所以返程时的平均速度不能低于84 km/h. (4)将v=120代入,得t= =(h),所以它从甲地到乙地最快需要h. 知识点2　反比例函数在力学中的应用 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少? 解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1 200×0.5, 所以F关于l的函数解析式为F= . 当l=1.5 m时,F= =400(N). 此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400 N