26.1.1　反比例函数 教案 2023-2024学年人教版数学九年级下册

26.1.1　反比例函数 教学目标： 1.理解反比例函数的概念. 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式. 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型. 教学重难点： 重点:能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型. 难点:理解反比例函数的概念. 教学过程： 导入 下列问题中,变量间具有函数关系吗?如果有,请写出它们的解析式. (1)京沪线铁路全程为1 463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化; (3)已知北京市的总面积为1.64×104平方千米,人均占有面积S(单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化. 讲授新知 知识点1　反比例函数的概念 问题:观察以下三个解析式,你觉得它们有什么共同特点? 答案:v= ,y= ,S=. [总结] 都具有分式的形式,其中分子是常数. 追问:类比正比例函数的一般形式,你能根据特点给出反比例函数的一般形式吗? [总结] 一般地,形如y= (k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数. 追问:反比例函数y=(k≠0)的自变量x的取值范围是什么? [点拨] 因为x作为分母,不能等于零,因此自变量x的取值范围是所有非零实数,但实际问题中,应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.例如,在前面得到的第一个解析式v=中,t的取值范围是t>0,且当t取每一个确定的值时,v都有唯一确定的值与其对应. 想一想:反比例函数除了可以用y=(k≠0)的形式表示外,还有没有其他表达方式? [总结] 反比例函数的几种表达方式(注意k≠0): (1)y=(k为常数,k≠0); (2)xy=k(k为常数,k≠0); (3)y=kx-1(k为常数,k≠0). 范例应用 例1　下列函数是不是反比例函数?若是,请指出k的值. ①y=3x-1;②y=-;③y=-;④y=;⑤y=3x-1. 解:①y=3x-1是反比例函数,k=3;②y=-不是反比例函数;③y=-是反比例函数,k=-;④y=不是反比例函数;⑤y=3x-1不是反比例函数. [方法归纳] 判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断. 例2　填空: (1)若y=是反比例函数,则m的取值范围是　m≠1　;  (2)若y= 是反比例函数,则m的取值范围是　m≠0且m≠-2　;  (3)若y= 是反比例函数,则m的值是　-1　.  例3　已知函数y=(2m2+m-1)是反比例函数,求m的值. [点拨] 由反比例函数的定义可得2m2+3m-3=-1,2m2+m-1≠0,然后求解即可. 解:因为y=(2m2+m-1)是反比例函数, 所以 解得m=-2. [方法归纳] 已知某个函数为反比例函数,只需要根据反比例函数的定义列方程(组)求解即可. 知识点2　用待定系数法确定反比例函数的解析式 已知变量y与x成反比例,且当x=2时,y=6.求: (1)y与x之间的函数解析式; (2)当x=4时,y的值. [点拨] (1)由题意中变量y与x成反比例,设出函数的解析式,利用待定系数法进行求解.(2)将x=4代入求得的函数解析式,求出y的值即可. 解:(1)因为变量y与x成反比例, 所以设y=(k≠0). 因为当x=2时,y=6,所以k=2×6=12. 所以y与x之间的函数解析式是y= . (2)当x=4时,y= =3,所以y的值为3. [归纳总结] 用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤 (1)设出含有待定系数的反比例函数解析式; (2)把一对已知的x,y的值代入解析式,得到一个关于待定系数的式子; (3)求出待定系数; (4)将所求得的待定系数代回所设的函数解析式. 范例应用 例4　已知y与x+1成反比例,并且当x=3时,y=4. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=7时,求y的值. 解:(1)设y= ,因为当x=3时,y=4, 所以4=,解得k=16,因此y= . (2)当x=7时,y= =2. 例5　已知y=y1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1. 求:(1)y关于x的函数解析式; (2)当x=-时,y的值. [点拨] 根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1,y2的解析式,进而得到y的解析式,把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数,也就求得了所要求的函数解析式. 解:(1)因为y1与x-1成正比例,y2与x+1成反比例, 所以设y1=