15.3分式方程 课件 2023-2024学年人教版 八年级数学上册

2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元 一次方程的分式方程. 1.理解分式方程的概念和分式方程产生 无解的原因. 15.3 分式方程(1) 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h, 它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间,与 以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水 的流速为多少? 解:设江水的流速为v km/h，根据题意，得 分母中含未知数，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 情境引入： 它与一元一次方程5x-3=0有什么区别？ 以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程. 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程? 整式方程 分式方程 【跟踪训练】 方法总结： 判断一个方程是否是分式方程:主要看分母是否含有未知数 分式方程的两个重要特征： （1）是方程 （2）分母含有未知数 (注意：π不是未知数)． 下面我们一起研究怎么样来解分式方程： 探究2： 方程两边同乘以6 ，得 2x-3=5 解得 x=4 类比左边解分式方程？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母” 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 归纳 下面我们再讨论一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入x-5，x2-25得其值都为0， 相应的分式无意义.所以x=5不是原分式方 程的解. ∴原分式方程无解. 为什么会产生无解？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 分式方程解的检验------必不可少的步骤 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 这个整式方程的解是不是原分式的解呢？ 怎样检验？ 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 【例题】 解：方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9 解得： x = 9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0, 所以，原分式方程的解为x=9. “去分母法”解分式方程的步骤： 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解. 解分式方程的思路： 分式方程 整式方程 去分母 一化 二解 三检验 方程的两边都乘最简公分母 课本P150 练习 针对练习： 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 针对练习：课本P152 练习 1.如果关于x的方程 无解, 则m的值等于（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.3 【解析】方程的两边都乘(x-3),得2=x-3-m, 移项并合并同类项得,x=5+m，由于方程无解, 此时x=3,即5+m=3,∴m=-2. B 拓展升华： 课堂总结： 分式方程