2.2.1 基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2.1 基本不等式 情境：下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. ，∈R，有，当且仅当时，等号成立 新知讲解 替换后得到： 即： 即： 基本不等式 问题1：如果，我们用分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？ 新知讲解 几何 平均数 算术 平均数 （当且仅当时，等号成立） 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 如何证这个不等式？ 新知讲解 问题2：能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢？ 当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式. 还有其他方法吗？ 新知讲解 分析法 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 新知讲解 思考2：根据教科书第44页的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？ 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立” 思考1：利用“分析法”来证明命题的思路与我们之前的证明思路有什么不同？ 新知讲解 问题3：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 在右图中，可证△ACD△DCB，因而CD=. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 几何解释：圆中直径不小于任意一条弦 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，上述不等式成立. 新知讲解 重要不等式与基本不等式的异同： 不等式 适用范围 a, b∈R a>0，b>0 文字叙述 两数的平方和不小于他们积的两倍 两个正数的算术平均数 不小于他们的几何平均数 “=”成立的条件 a=b 新知讲解 解：因为，所以 当且仅当，即， =1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 例1：已知，求的最小值. 新知讲解 例2：已知都是正数，求证： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：因为都是正数，所以. （1）当积𝑥𝑦等于定值𝑃时， ，所以 ， 当且仅当时，和有最小值. 新知讲解 （2）当和等于定值时，，所以， 当且仅当时，积有最大值. 例2：已知都是正数，求证： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 新知讲解 利用基本不等式求最值时，需满足: （1）a，b必须是正数. （正） （2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值； 当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定） （3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等） 新知讲解 【练习】已知x，y都是正数，且x≠y，求证： 新知讲解 【练习】已知x，y都是正数，且x≠y，求证： 新知讲解 新知讲解 新知讲解 新知讲解 新知讲解 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 课堂小结 a> 0，b> 0， ≤ 1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 解析：选D. a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C. D．3 解析：选D. 因为a＞1，所以a－1＞0， 所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.　 当且仅当a－1＝即a＝2时取等号． 3．若a，b都是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C. 因为a，b都是正数， 所以＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当b＝2a＞0时取等号． 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． 解析：x＋y＝(x＋y)· ＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16. 即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.