4.2.2等差数列的前n项和公式（第二课时 ）课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 （第二课时） 1 1.等差数列前n项和公式推导方法. 2.掌握等差数列前n项和公式的两种形式. 倒序相加法 Sn=a1＋ a2＋ a3＋ …… ＋ an Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an) an=a1＋(n－1)d 复习回顾 解： 例1.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 学习新知 典型例题 3 当n≥2时，  当n=1时， 当n=1时也满足①式. ① 解: 典型例题 变式训练 当n >1时,  当n=1时, 当n=1时不满足①式. 分类讨论思想 ① ● 如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qm+r,其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？ （1）若r=0，则这个数列一定是等差数列. 结论：数列是等差数列等价于 常数项为0的关于n的二次型函数 深化探究 （过原点） （2）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列. 典型例题 解: 函数思想 Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点. 7 典型例题 另解： 从等差数列的通项公式出发来分析 8 （1）利用an： 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值. 等差数列前项和的最值问题有两种常用的方法: （2）利用Sn： 由 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 归纳提升 解　法一　设公差为d. 练习. 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 故当n＝7时，Sn最大. 巩固训练 索引 法二　易知Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数， 故当n＝7时，Sn最大. 索引 法四　设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0， 又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0， 所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大. 索引 解　∵等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7， ∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5， 解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7， 例4. 等差数列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7. (1)求{an}的通项公式； ∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8. 典型例题 (2)记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值. ∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4， 当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8. 当n＜3时，T1＝5，T2＝7； ∴n的最小值为34. 证明： 典型例题 再探. 再探. 蓦然回首 这节课我的收获是什么？ 课堂小结 反之如何证明？ 当m=n时，公式变化？ 请证明公式！ 课后探究 (3)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和 为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A． 28 B．29 C．30 D．31 相应练习 (方法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1 220＝400A＋20B，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.)) ∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310， S20＝1 220，求S30. (方法四)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，得eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq \f(d,2)， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列， ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列，∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30eq \b\lc\(\r