第一部分 第4单元 5.小专题培优13 与角平分线相关的五大常见模型-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学分层进阶练习册PPT课件（河北专用）

数 学 精 练 册 1 第一部分 单元分层进阶练 小专题培优13 与角平分线相关的五大常见模型 （10年3考；2023.26） 2 【模型特点】 三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系： 如图1，当这两个角为内角时， ； 图1 类型 1 双角平分线模型（10年1考） 如图2，当这两个角为外角时， ； 图2 如图3，当这两个角为一内角、一外角时， . 图3 【解题策略】 根据角平分线的定义及三角形内角和定理，找出待求角和已知角之间 的关系，进而求解. 第1题图 1.如图，在 中， ， 的平分线 ， 相交于点 ，且 ， ， 则 _____ . 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 第2题图 2.如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点， 与 的平分线相交 于点 ，则 的度数为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 第2题解图 【解析】如解图， 与 的平分线交于点 ， ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 3.如图， 的两个外角的平分线交于点 ，设 ，求证： . 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 第3题解图 证明：如解图， ， . 又 的两个外角的平分线交于点 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 【模型特点】 如图， 是 的平分线上一点， 于点 .过 点 作 于点 ，则 . 【解题策略】 1.当已知角平分线上一点到角的一边的垂线段的长度，求该点到角的 另一边的距离或与角的另一边上的线段组成的三角形的面积时，通常 需要过该点向角的另一边作垂线段（构造辅助线）； 2.根据角平分线的性质得到相等的线段，再进行相关计算. 类型 2 垂两边模型（10年1考） 第4题图 4.如图，在 中， ， 是 的平分线，交 于 .若 ， ，则 的面积是______. 第4题解图 【解析】如解图，过点 作 ，垂足为 ， 是 的平分线， , ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 5.如图， ， .求证： 平分 . 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第5题解图 证明：如解图，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 于点 ， ， ， ， ， . ， ， 平分 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 【模型特点】 如图， 是 的平分线， 于点 .延长 交 于点 ，则 是等腰三角形， . 类型 3 垂中间模型 【解题策略】 1.当已知角平分线和角的一边上的点到角平分线的垂线段时，通常延 长这条垂线段，使其与角的另一边相交（构造辅助线）； 2.利用等腰三角形“三线合一”或角平分线的定义得到等角，证明三角 形全等，进而求解. 第6题图 6.如图， ， ， 于 点 ， 是 的中点.求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 第6题解图 证明：如解图，延长 交 于点 ， 在 和 中， ， ， . 又 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 7.如图，在 中， 是角平分线， ，垂足为 . 求证： . 第7题图 第7题解图 证明：如解图，延长 交 于点 ， 是角平分线， ， 是等腰三角形，且 . 又 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 第8题图 8.如图，在 中， ， ， 平分 ， 交 的延长线于点 . 求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 第8题解图 证明：如解图，延长 ， 交于点 ， ， ， , . 在 和 中， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 . 平分 ， . ， ， . ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【模型特点】 如图， 是 的平分线上一点， 是 上任意 一点.在 上截取 ，连接 ，则 ， .