精品解析：上海市浦东新区南汇中学2024届高三上学期12月月考数学试题

南汇中学高三月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则___________. 2. 过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 3. 已知在角的终边上，则___________. 4. 已知复数，（i是虚数单位），若是纯虚数，则实数__. 5. 等差数列满足，，则___________. 6. 已知函数（且）恒过定点，则________________． 7. 已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________. 8. 已知正实数x、y满足，则的最小值为___________. 9. 已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________. 10. 函数的最大值为__________． 11. 已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是___________. 12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13. 若，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 设是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 15. 在正方体中，给出下列四个推断： ① ② ③平面平面 ④平面平面 其中正确的推断有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①，②都错 D. ①，②都对 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）求证：平面； （2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离． 18. 已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为. （1）求角的大小； （2）求面积的最大值. 19. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型. （1）求a、b的值； （2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路的长度最短?求出最短长度. 20. 已知椭圆：左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点. （1）求周长； （2）是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围. 21. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. （1）若,试判断否为“平缓函数”并说明理由; （2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南汇中学高三月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解出集合，按照集合的交运算法则进行运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 2. 过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的点斜式,再分别求出截距，计算面积及即得； 【详解】由题可得直线l方程为，即； 令，则,令，则, 则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为: . 3. 已知在角的终边上，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出；再利用诱导公式化简求值即可. 【详解】因为在角的终边上 所以由三角函数的定义可得 则. 故答案为： 4. 已知复