第25讲 圆的综合证明问题专项训练-【专题突破】2023-2024学年九年级数学下册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第25讲 圆的综合证明问题专题复习 【知识点睛】 · 第一问常考考点——切线 1. 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ ☆特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” 2. 切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 · 考题常见结合考点 1. 知2得1： 2. 三角形相似： 3. Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！ 4. 三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ 5. 特殊角： 常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、 正切值=½ / ⅓ / ¾ 等的角度。 ☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！ 另： 6. 弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法 常用公式： 常用辅助线 ①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径 ②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3 ——或做两条弦心距，构造矩形或正方形 ③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题 【类题讲练】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是 　 　．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3． 2．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图的机械设备，磨盘半径OQ＝3dm，用长为13dm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝8dm． （1）如图2，当PQ与⊙O相切时，则AP＝　 　dm． （2）若磨盘转动10周，则点P在轨道AB上滑动的路径长是 　 　dm． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 　 　． 4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点． （1）如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是 　 　； （2）如图2，若AE＝1连结CG，DG，分别取DG、CG的中点P、Q，连接PQ，M为PQ的中点，则CM的最小值为 　 　． 5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切； （2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°． （1）求∠BED的大小； （2）若点F在AB的延长线上，且AF＝2AB，求证：DF与⊙O相切． 7．如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求阴影部分面积． 8．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE． （1）求证：直线DC与⊙O相切； （2）若AB＝15，tan∠BDC＝，求CE的长． 9．如图，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F， （r是⊙O的半径）． （1）D为AB延长线上一点，若DC＝DF，证明：直线DC与⊙O相切； （2）求EF•EC的值（用r表示）． 10．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，，求DF的长． 11．如图1，在⊙O中，P是直径AB上的动点，过点P作弦CD（点C在点D的左边），过点C作弦CE⊥AB，垂足为点F，连结BC，已知． （1）求证：FP＝FB． （2）当点P在半径OB上时，且OP＝FB，求的值． （3）连结BD，若OA＝5OP＝5． ①求BD的长． ②如图2，延长PC