2023-2024学年苏科版七年级上册寒假衔接课第一讲（温故）：有理数

温故而知新--有理数 第一部分 知识点梳理 一、正数和负数 正数和负数的概念：负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数 二、有理数 1.有理数的概念 (1)正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） (2)正分数和负分数统称为分数 (3)正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 2.有理数分类：(1)按有理数的意义分类 (2)按正、负来分 3.数轴 (1)数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。(2)数轴上的点与有理数的关系：①所有的有理数可以用数轴上的点来表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如：数轴上的点π不是有理数） 4.相反数 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 5.绝对值 (1)绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 (2)绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。 (3)绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即 ①0的绝对值是0；绝对值是0的数是0。即：a=0 <=>|a|=0； ②一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0。即：|a|=0； ③任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|>a； (4)有理数大小的比较 ①利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ②利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 (5)绝对值的化简:①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a; 三、有理数的加减法 1.有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两数相加，和为零；(4)一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 四、有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则： 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三) 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。 2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 注意：(1)0没有倒数； 3.有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). (3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 (1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 (2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 (1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 (2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 五、有理数的乘方 1.乘方的概念 2.乘方的性质:(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 3.有理数的混合运算：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 4.科学记数法 第二部分：典型习题过关 一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知且则的值是 A. B.