第02讲 解直角三角形-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 解直角三角形 课程标准 学习目标 ①直角三角形的性质及其解直角三角形 ③解直角三角形的实际应用 1. 掌握直角三角形的性质，并能够熟练的应用直角三角形的性质解直角三角形。 2. 掌握解直角三角形的基本类型。 3. 掌握解直角三角形的实际应用问题，仰角俯角问题，方向角问题，坡度问题。 知识点01 直角三角形的性质 1. 直角三角形的性质： ①直角三角形角的性质：两锐角 。 ②直角三角形边的性质：直角三角形的三边满足 。 ③直角三角形的边角关系：三种锐角三角形函数。 ； ； 。 2. 解直角三角形的定义： 利用直角三角形的性质，根据直角三角形的已知量求未知量的过程。 题型考点：①解直角三角形。 【即学即练1】 1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝．解这个直角三角形． 【即学即练2】 2．在△ABC中，已知∠C＝90°，b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．解这个直角三角形． 【即学即练3】 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a＝8，b＝8； （2）∠B＝45°，c＝14． 【即学即练4】 4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求： （1）线段AB的长； （2）tan∠DBA的值． 【即学即练5】 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5． （1）求cos∠ADE的值； （2）当DE＝DC时，求AD的长． 知识点02 解直角三角形的应用—仰角俯角问题 1. 仰角与俯角的认识： 向上看物体的视线与水平线的夹角叫 ；向下看物体的视线与水平线的夹角叫 。 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 题型考点：①解直角三角形在仰角俯角中的应用。 【即学即练1】 6．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ 【即学即练2】 7．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈） 【即学即练3】 8．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进6m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C． （1）求∠BPQ的度数； （2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.732）． 知识点03 解直角三角形的应用—方向角问题 1. 方向角的定义： 方向角一般是以 南北 方向为起始，向 东西 方向进行转动形成的夹角。通常表示为方向加上角度。 在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。 题型考点：①解直角三角形在方向角问题中的应用。 【即学即练1】 9． 如图所示，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测量B在北偏东32°方向上，且量得B，C之间的距离是100m，则A、B之间的距离 为　　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480） 【即学即练2】 10．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 【即学即练3】 11．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时5